曲线积分与曲面积分
2021/1/30 曲线积分与曲面积分
(-)曲(=)各种(三)场论初步 分与曲面秆
2 （一）曲线积 主要内容？ 分与曲面积分 （二）各种积 分之间的联系 （三）场论初步
(_)曲线积分与曲面积分 对狐长的 对面积的 曲线积分 曲面积分 曲线积分 定『联1计 定『联1计 义(系丿算 义系丿算 曲面积分 对坐标的 对坐标的 曲线积分 曲面积分
曲 线 积 分 曲 面 积 分 对面积的 曲面积分 对坐标的 曲面积分 对弧长的 曲线积分 对坐标的 曲线积分 计 算 计 算 联 系 联 系 （一）曲线积分与曲面积分
曲 线积分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 P(x, y)dx+o(x, y)dy 定义联系计 「/(y)=m∑/(n) lim IP(E,m: )4; H2(],m: )4yil Pdx+dy=l (P cos a+Q cos B)ds f(x, y)ds Pdx +dj p,vJo'+v'dt P IP(p,)o'+e(o,w)y'ldt 算|三代一定 a 二代一定(与方向有关)
曲 线 积 分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 定 义 = → = n i i i i L f x y ds f s 1 0 ( , ) lim ( , ) + L P(x, y)dx Q(x, y)dy lim [ ( , ) ( , ) ] 1 0 i i i n i i i i = P x +Q y = → 联 系 Pdx Qdy P Q ds L L ( cos cos ) + = + 计 算 = + f dt f x y ds L 2 2 [ , ] ( , ) 三代一定 ( ) = + + P Q dt Pdx Qdy L [ ( , ) ( , ) ] 二代一定 (与方向有关)
与路径无关的四个等价命题 条在单连通开区城D上P(x,2,)具有 件连续的一阶偏导数则以下四个命题成立 /学)在呐Px+与路径无关 价 P+y=0,闭曲线CcD 命 (3)在呐内存在U(x,y)使d=Pbx+y 题 4) 在列
与路径无关的四个等价命题 条 件 在单连通开区域D上P(x, y),Q(x, y)具 有 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立. + L (1) 在D内 Pdx Qdy与路径无关 + = C (2) Pdx Qdy 0,闭曲线C D (3) 在D内存在U(x,y )使du = Pdx + Qdy x Q y P D = (4) 在 内, 等 价 命 题
曲 面积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 足|』3=立29△8x3=R5界△ 义 联∫b+b+1a++单 系 /计|d R(x, v, e)dxdy 算|-1a++b0x3 一代,二换,三投(与侧无关) 一代二投三定向(与侧有关)
曲 面 积 分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 定 义 = → = n i i i i i f x y z ds f s 1 0 ( , , ) lim ( , , ) i x y n i R(x, y,z)dxdy lim R( i , i , i )( S ) 1 0 = = → 联 系 Pdydz + Qdzdx + Rdxdy 计 算 一代,二换,三投(与侧无关) 一代,二投,三定向 (与侧有关) = (P cos + Q cos + R cos )dS f (x, y,z)ds = + + Dxy f x y z x y zx z ydxdy 2 2 [ , , ( , )] 1 R(x, y,z)dxdy = Dxy R[x, y,z(x, y)]dxdy
(二)各种积分之间的联系 计算 曲线积分 定积分 Stokes公式 2 计算 计算 曲面积分 重积分 Glassy公式
曲线积分 定积分 曲面积分 重积分 计算 计算 计算 Stokes公式 Guass公式 （二）各种积分之间的联系
积分概念的联系 fM=m∑f(M△o,f(M)点函数 i=1 定积分当→R上区间a,6时, ∫(M)σ=∫(x) 二重积分当Σ→R2上区域D时, ∫(Md=f(x,y)
( ) lim ( ) , ( )点函数 1 f M d 0 f M f M n i i = → = ( ) ( ) . [ , ] , 1 = → b a f M d f x dx R a b 当 上区间 时 ( ) ( , ) . , 2 = → D f M d f x y d R D 当 上区域 时 积分概念的联系 定积分 二重积分
曲线积分当Σ→R2上平面曲线L时, ∫(M)da=∫(x,y) 重积分当Σ→R2上区域时, ∫(M)dU=f(x,y,z)d 曲线积分当Σ→R3上空间曲线r时, f(M)do=If(x, y,z ds 曲面积分当Σ→R3上曲面S时, ∫(M)dσ=f(x,y,z)dS
= → f M d f x y z dV R ( ) ( , , ) , 3 当 上区域 时 ( ) ( , , ) . , 3 = → f M d f x y z ds R 当 上空间曲线 时 ( ) ( , , ) . , 3 = → S f M d f x y z dS R S 曲面积分 当 上曲面 时 曲线积分 三重积分 ( ) ( , ) . , 2 = → L f M d f x y ds R L 曲线积分 当 上平面曲线 时
计算上的联系 s(r,y) do=lyS a(x,y)yhx,(d面元素) ∫93dy-∫"d1h,(d体元素) 「/(,y)=1x,x)1+y2k(线元素(曲) f(x,y)=[x,y(x)c,(线元素(投影)
计算上的联系 ( , ) [ ( , ) ] ,( ) ( ) ( ) 2 1 f x y d = f x y dy dx d面元素 b a y x y x D ( , , ) ( , , ) ,( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) 2 1 2 1 f x y z dV dx dy f x y z dz dV体元素 b a y x y x z x y z x y = = + b L a f (x, y)ds f[x, y(x)] 1 y dx,(ds ( )) 2 线元素 曲 = b L a f (x, y)dx f[x, y(x)]dx,(dx线元素(投影))