53立体几何中的向量方法
5.3 立体几何中的向量方法
试题统计 题 命题规律 复习策略 型 (2013全国I理18) 求解立体几何 (2013全国18)问题是高考的抓住考查的主要题 (2014全国I,理19) 必考内容每套日类型进行训练 (2014全国Ⅱ,理11 重点是利用向量知 选 试卷必有立体 (2014全国Ⅱ理18)厘般设2至3间2/与垂直利用向量 几何解答题,一 识证明空间的平行 (2015全国1理18)圆问的较多前 知识求线线角、线 2015全国Ⅱ理19)解问较简单最后面角、二面角的大 2016全国I理18) (2016全国Ⅱ,理19) 问难度较大 小;利用向量知识 (2016全国Ⅲ理19) 而选用向量法求空间中的距离以 (2017全国I,理18)可以降低解题 及利用向量知识解 (2017全国Ⅱ,理19) 难度,但增加了/决立体中的探 (2017全国Ⅲ,理19) 计算量 索性问题
-2- 试题统计 题 型 命题规律 复习策略 (2013 全国Ⅰ,理 18) (2013 全国Ⅱ,理 18) (2014 全国Ⅰ,理 19) (2014 全国Ⅱ,理 11) (2014 全国Ⅱ,理 18) (2015 全国Ⅰ,理 18) (2015 全国Ⅱ,理 19) (2016 全国Ⅰ,理 18) (2016 全国Ⅱ,理 19) (2016 全国Ⅲ,理 19) (2017 全国Ⅰ,理 18) (2017 全国Ⅱ,理 19) (2017 全国Ⅲ,理 19) 选 择 题 解 答 题 求解立体几何 问题是高考的 必考内容,每套 试卷必有立体 几何解答题,一 般设 2 至 3 问,2 问的较多,前一 问较简单,最后 一问难度较大, 而选用向量法 可以降低解题 难度,但增加了 计算量. 抓住考查的主要题 目类型进行训练, 重点是利用向量知 识证明空间的平行 与垂直;利用向量 知识求线线角、线 面角、二面角的大 小;利用向量知识 求空间中的距离以 及利用向量知识解 决立体几何中的探 索性问题
命题热点 用空间向量证明空间的平行与垂直 【思考】如何用空间向量证明空间的平行与垂直? 例1已知直三棱柱ABC-A1B1C1中AC⊥BCD为AB的中 点AC=BC=BB1 (1)求证BC1⊥AB1 (2)求证BC1平面CA1D
-3- 命题热点一 命题热点二 命题热点三 用空间向量证明空间的平行与垂直 【思考】 如何用空间向量证明空间的平行与垂直? 例1已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D为AB的中 点,AC=BC=BB1 . (1)求证:BC1⊥AB1 ; (2)求证:BC1∥平面CA1D
命题热点 证明:如图,以C1为原点,C141,C1B1,C1C所在直线分别为x轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系.由AC=BC=BB1,设AC=2, 则A(2,0,2),B(0.2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),B(0,2,0)C1(0,0,0),D(1,1,2) (1)因为BC1=(0,-2,2),AB1=(-2,2,-2) 所以BC1·AB1=0-4+4=0, 因此BC1⊥AB1,故BC1⊥AB1 (2)证法一由于CA1=(20.-2,CD=(1,1,0) 若设BC1=xCA1+yCD, 2x+y=0, 则得}y=-2,解得 x 2即BC1=CA1-2CD 2x=-2 所以BC1,CA1,CD是共面向量, 又BC平面CA1D,因此BC1∥平面CA1D
-4- 命题热点一 命题热点二 命题热点三 证明： 如图,以C1为原点,C1A1 ,C1B1 ,C1C所在直线分别为x轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系.由AC=BC=BB1 ,设AC=2, 则A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1 (2,0,0),B1 (0,2,0),C1 (0,0,0),D(1,1,2). (1)因为𝐵𝐶1 =(0,-2,-2),𝐴𝐵1 =(-2,2,-2), 所以𝐵𝐶1 ·𝐴𝐵1 =0-4+4=0 , 因此𝐵𝐶1 ⊥ 𝐴𝐵1 ,故 BC1⊥AB1. (2)证法一 由于𝐶𝐴1 =(2,0,-2), 𝐶 𝐷 =(1,1,0), 若设𝐵𝐶1 =x𝐶𝐴1 +y 𝐶 𝐷 , 则得 2𝑥 + 𝑦 = 0, 𝑦 = -2, -2𝑥 = -2, 解 得 𝑥 = 1, 𝑦 = -2, 即𝐵𝐶1 = 𝐶𝐴1 -2 𝐶 𝐷 , 所以𝐵𝐶1 , 𝐶𝐴1 , 𝐶 𝐷 是共面向量, 又 BC1⊄平 面 CA1D,因 此 BC1∥平 面 CA1D
命题热点 证法二设平面CA1D的法向量为n=(xy2),则 CA1=0 m CD=0 即 j(x,y,z)(2,0.-2)=0 x,y,z)(1,10)=0, 2x-2z=0, x+y=0 不妨令x=1,则y=-12=1, n=(1,-1,1) BC1=(0,-2-2) BC1n=1×0+(-2)×(-1)+(-2)×1=0 BC1⊥n 又BC1在平面CA1D外,BC1∥平面CA1D
- 5 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 证法二 设平面 CA1D 的法向量为 n =(x,y,z), 则 𝑛·𝐶 𝐴1 = 0, 𝑛· 𝐶 𝐷 = 0, 即 (𝑥,𝑦,𝑧)·(2,0,-2) = 0, (𝑥,𝑦,𝑧)·(1,1,0) = 0, ∴ 2𝑥-2𝑧 = 0, 𝑥 + 𝑦 = 0. 不妨令 x=1, 则 y=-1,z=1, ∴n =(1,-1,1). ∵ 𝐵𝐶1 =(0,-2,-2), ∴ 𝐵𝐶1 ·n=1×0+(-2)×(-1) +(-2)×1= 0. ∴ 𝐵𝐶1 ⊥n. 又 BC1在平面 CA1D 外,∴BC1∥平 面 CA1D
命题热点 题后反思用向量方法证明空间线面位置关系的方法设直线l,l2 的方向向量分别为a2b,平面aB的法向量分别为e1,e2,A,BC分别为平 面a内的相异且不共线的三点(其中l1与2不重合,a与B不重合)则 (1)h1l2→ab台存在实数λ,使b=a(a0)l1l2分a⊥beab=0 (2)1⊥a台ale1台存在实数使e1=1a(a0)1aae1=0台存在 非零实数A12使a-=41AB+2AC (3)aBee1e2兮存在实数λ,使 e2=e1(e10),a⊥Be1⊥e2eee2=0
-6- 命题热点一 命题热点二 命题热点三 题后反思用向量方法证明空间线面位置关系的方法:设直线l1 ,l2 的方向向量分别为a,b,平面α,β的法向量分别为e1 ,e2 ,A,B,C分别为平 面α内的相异且不共线的三点(其中l1与l2不重合,α与β不重合),则 (1)l1∥l2⇔a∥b⇔存在实数λ,使b=λa(a≠0);l1⊥l2⇔a⊥b⇔a·b=0. (2)l1⊥α⇔a∥e1⇔存在实数λ,使e1=λa(a≠0);l1∥α⇔a·e1=0⇔存在 非零实数λ1 ,λ2 ,使a=λ1 (3)α∥β⇔e1∥e2⇔存在实数λ,使 e2=λe1 (e1≠0);α⊥β⇔e1⊥e2⇔e1·e2=0. 𝐴 𝐵 +λ2 𝐴 𝐶
命题热点 对点训练在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°BC=2,CC1=4, 点E在线段BB1上,且EB1=1,DFG分别为CC1,CB1,C1A1的中点 求证:(1)B1D⊥平面ABD (2)平面EGFH平面ABD 证明:(1)以B为坐标原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x轴、y轴 z轴建立空间直角坐标系,如图 则B(0,0,0),D(0,2,2),B1(0,0,4) 设BA=a,则A(a10,0) 所以BA=(a,00),BD=(0,2,2) B1D=(0,2,-2),B1D·BA=0,B1D·BD=0+4-4=0, 即B1D⊥BA,B1D⊥BD, 又BA∩BD=B,因此B1D⊥平面ABD
-7- 命题热点一 命题热点二 命题热点三 对点训练1在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90° ,BC=2,CC1=4, 点E在线段BB1上,且EB1=1,D,F,G分别为CC1 ,C1B1 ,C1A1的中点. 求证:(1)B1D⊥平面ABD; (2)平面EGF∥平面ABD. 证明：(1)以B为坐标原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x轴、y轴、 z轴建立空间直角坐标系,如图. 则B(0,0,0),D(0,2,2),B1 (0,0,4), 设BA=a,则A(a,0,0), 所以 𝐵 𝐴 =(a,0,0), 𝐵 𝐷 =(0,2,2), 𝐵 1 𝐷 =(0,2,-2),𝐵 1 𝐷 · 𝐵 𝐴 =0,𝐵 1 𝐷 · 𝐵 𝐷 =0+4-4=0, 即 B1D⊥BA,B1D⊥BD, 又 BA∩BD=B,因此 B1D⊥平 面 ABD
命题热点 (2)()知E03(214)0.4 则EG=(2,1,1),EF=(0,1,1),B1D·EG=0+22 0,B1D·EF=0+2-2=0, 即B1D⊥EG,B1D⊥EF 又EG∩EF=E,因此B1D⊥平面EGF 结合(1)可知平面EGF平面ABD
-8- 命题热点一 命题热点二 命题热点三 (2)由(1)知,E(0,0,3),G 𝑎 2 ,1,4 ,F(0,1,4), 则𝐸 𝐺 = 𝑎 2 ,1,1 , 𝐸 𝐹 =(0,1,1),𝐵 1 𝐷 ·𝐸 𝐺 =0+2-2 =0,𝐵 1 𝐷 ·𝐸 𝐹 =0+2-2=0, 即B1D⊥EG,B1D⊥EF, 又EG∩EF=E,因此B1D⊥平面EGF. 结合(1)可知平面EGF∥平面ABD
命题热点二 利用向量求空间角 【思考】如何用空间向量求空间角? 例2(2017全国,理 D B 如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面 ABCD AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点 (1)证明直线CE平面PAB (2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为4求一面 角MAB-D的余弦值
-9- 命题热点一 命题热点二 命题热点三 利用向量求空间角 【思考】 如何用空间向量求空间角? 例2(2017全国Ⅱ,理19) 如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面 ABCD,AB=BC= AD,∠BAD=∠ABC=90° ,E是PD的中点. (1)证明:直线CE∥平面PAB; (2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45° ,求二面 角M-AB-D的余弦值. 1 2
命题热点二 (1)证明:取PA的中点F连接EF,BF 因为E是PD的中点,所以EF∥AD,EF=AD 由∠BAD=∠ABC=90°得BC∥AD, 又BC=AD所以EFBC,四边形BCEF是平行四边形CE∥ BE 又BFC平面PAB、CE女平面PAB故CE∥平面PAB
-10 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 (1)证明: 取 PA 的中点 F,连接 EF,BF. 因为 E 是 PD 的中点,所以 EF ∥AD,EF=12 AD. 由∠BAD=∠ABC=90°得 BC∥AD, 又 BC=12 AD,所以 EF BC,四边形 BCEF 是平行四边形,CE ∥ BF, 又 BF ⊂平面 PAB,CE ⊄平面 PAB,故 CE ∥平面 PAB