量子化学 第三章矩阵与算符 3线性代数 Linear algebra) 32矩阵( Matrices) 33行列式( Determinants) 34算符( Operators 35量子力学的基本假设
量子化学 • 第三章 矩阵与算符 – 3.1 线性代数(Linear Algebra) – 3.2 矩阵 (Matrices) – 3.3 行列式(Determinants) – 3.4 算符(Operators) – 3.5 量子力学的基本假设
1.三维矢量代数 三维矢量:a=e1a1+2a2+3a3=∑ea1(31 q=sAl、cE,at、 3=∑6a(32) 列矩阵( Column matrix) a a a (3.3a-3b C
1. 三维矢量代数 i i a e a e a e a ei a → → → → → 三维矢量： = 1 1 + 2 2 + 3 3 = (3.1) ' ' ' ' 1 1 2 2 3 3 i i a a a a i a → → → → → = + + = (3.2) 列矩阵(Column matrix) a = , 3 2 1 a a a ' 3 ' 2 ' 1 a a a a’ = (3.3a-3b)
点积( dot product) a-b=a, +a2b2+a,b=2a, b,(34) aa=a2+a2a2=2a2+a|(35) 相互正交基矢( mutually orthogonal basis vectors) ji=八 0i≠ (36)
点积(dot product) i i a b = a b + a b + a b = ai b → → 1 1 2 2 3 3 2 2 2 3 2 2 2 | | 1 → → → = + + = = i a a a a a ai a (3.4) (3.5) 相互正交基矢(mutually orthogonal basis vectors) = = = = → → if i j if i j e e i j i j j i 0 1 (3.6)
利用正交关系(36)式有 ∑e;a1=∑ (36) (31)式可该写为a=∑e·a,其中 单位并矢式( unit dyadic) (37) (37)亦称基底{en}的完备性条件,即任何 矢量可表示为基向量{e}的线性组合
j i i i i j i i ej a =ej e a = a = a → → → → 利用正交关系(3.6)式有 (3.1)式可该写为 → → → → a = e e a i i i (3.6) 单位并矢式(unit dyadic) =1 → → i i i e e ，其中 (3.7) (3.7)亦称基底 { }的完备性条件，即任何 一矢量可表示为基向量{ }的线性组合。 → i e → i e
2行矢和列矢n个分量分别由行矩阵和列矩阵表示。 X=( Y (38) 3 Dirac符号 行矢一左矢( bra vector),以表示
2 行矢和列矢 n个分量分别由行矩阵和列矩阵表示。 ( ) n X x x ... x = 1 2 → = → n y y y Y 2 1 (3.8) 3 Dirac 符号 行矢—左矢 （ bra vector）， 以 表示. 列矢—右矢 （ket vector）, 以 | > 表示
/>=/y2 Y|[y1*y2*……Vn* =[y1*y2*…yn*](3,9) H=转置+共轭
= n y y y Y 2 1 | | [ * * *] Y = y1 y2 yn | | [ * * *] 1 2 n H Y = Y = y y y H=转置+共轭 (3.9)
4矢量的标积和矢量的正交 X|=xy=国x…x∑x=Y1X>(310) 括号-标积,bra&ket由 bracket而得 连续函数 =|中 *dt
4 矢量的标积和矢量的正交 H n i i i n n H x y Y X y y y X Y X Y x x x = = | = = [ ] | 2 * 1 * * 2 * 1 (3.10) 括号 --- 标积，bra & ket 由 bracket而得. 连续函数 = b a | *d
如果=0,称X和Y正交。当X=Y时, XHX的平方根称为矢量X的长度或模morm), H Ⅹ=3x1x1+x2x,+…+x n n (3.11)
如果 = 0， 称X和Y正交。当X=Y时， XHX的平方根称为矢量X的长度或模(norm), 即 n n H X X X x x x x x x * 2 * 1 2 * = = 1 + ++ (3.11)
3.2矩阵( Matrices 1矩阵的定义 21 (3.12) 2 nm
3. 2 矩阵 (Matrices) = = n n n m m m i j nxm a a a a a a a a a A a 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 [ ] 1 矩阵的定义 (3.12)
2矩阵的运算 相等A=B,[a]=b (3.13) 加法A+B""b (3.14) 数乘A=C,cn=~a (3.15) 对易纪律和结合律 A+B=B+A,入A=A A+(B+C)=(A+B)+C (3.16) (a+ ba=aA+ bA M(A+B)=nA+nB
2 矩阵的运算 相等 A = B, [aij] = [bij] (3.13) 加法 A + B =C, cij = aij + bij (3.14) 数乘 A = C, cij = aij (3.15) 对易纪律和结合律 A + B = B + A，A =A A + (B + C）= (A + B) + C (3.16) (a + b)A = aA + bA, (A + B) = A + B