第三章 常微分方程的差分方法
第三章 常微分方程的差分方法
校心问题 常微分方程 O(x,y,yx,yx…)=0 如何数值求解? 以∫y=f(xy),x∈(a,b) y(a)=yo 为例说明!
核心问题 常微分方程 ( , , , , ) 0 O x y y y x xx = 如何数值求解？ 以 0 为例说明！ ( , ), ( , ) ( ) . y f x y x a b y a y = =
三个步骤 1.高散化 ↑y y=y(x)● yun) y(x0) ●● 。1b O|xx1…X n“n+1°°KX
三 个 步 骤 1. 离散化 x y O a b y = y (x) x0 x1 … xn xn+1 … hn … … y(x0 ) yn y(xn ) xK
h=-a)/K或K=[(b-a)/h xn=a+mh(n=0,1,2,…,K) 2。构造递推公式 化微分方程为差分方程! 3.三性分析 (1)相容性 (2)稳定性 (3)收敛性
3. 三性分析 (1) 相容性 (2) 稳定性 (3) 收敛性 2. 构造递推公式 化微分方程为差分方程！ ( 0,1,2, , ) n x a nh n K = + = h b a K = − ( ) / 或 K b a h = − ( ) /
3.1欧批方法 }式 向前欧拉格 1。格式构造 y'(r,)=fln, y(r,) y(rm =lim y(x,+)-yx21(x,+h)-y(,) h→>0 h h 故有y(xm)≈y(x)+h([xny(x
3.1 欧拉方法 一、向前欧拉格式 y x f x y x ( ) , ( ) n n n = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim n n n n n h y x h y x y x h y x y x → h h + − + − = 故有 y x y x hf x y x ( ) ( ) , ( ) n n n n +1 + 1. 格式构造
用近似值代替,有 V1=yn+f(x,yn)(n=0,1,…,K-1) 2.局部鐵断误差与方法的精度 对某种数值方法,假设其前步计 算都是精确的,即y1=y(x(=0,1,…,m) 在此假设下,用该方法计算出第+1个 点上的近似值ym+1,称Rn+1=y(xm+1)-m1 为局部截断误差。 如果某种方法的局部截断误差为 O(1),则称此方法为p阶度
用近似值代替, 有 1 ( , ) ( 0,1, , 1) n n n n y y hf x y n K + = + = − 2. 局部截断误差与方法的精度 对某种数值方法, 假设其前n步计 算都是精确的, 即yi = y(xi )(i=0, 1, ..., n). 在此假设下, 用该方法计算出第n+1个 点上的近似值yn+1, 称Rn+1 = y(xn+1)-yn+1 为局部截断误差. 如果某种方法的局部截断误差为 O(h p+1), 则称此方法为p阶精度
n+1 n+1-- y(n+d y=y(x) co x .. u x n n+1
x y O y = y (x) x0 x1 … xn xn+1 … … yn+1 y(xn+1) Rn+1
例:分析向前欧拉方法的精度。 解:在假设=y(x)(=0,1,…,n)下,欧批 格式可写为 m+i=yn+hf(r, y, v(,)+hfli,y(rm)=y(x, )+hy(rn 由泰勒公式 分n)=y(xn+h y(x, )+hy (x,)+y(5), xn<5<xn+ h 所以R1=y(xn1)-y=y(5)=O(h)
例: 分析向前欧拉方法的精度。 解: 在假设yi = y(xi )(i=0, 1, ..., n)下, 欧拉 格式可写为 ( ) 1 , ( ) , ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n n y y hf x y y x hf x y x y x hy x + = + = + = + 由泰勒公式 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 2 n n n n n n y x y x h h y x hy x y x x + + = + = + + 所以 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 n n n h R y x y y O h + + + = − = =
3.欧拉法的几何意义 y 体截断误差 y=y(c) O1 Xo x1 x2 x 3
3. 欧拉法的几何意义 x y O y = y (x) x0 x1 x2 x3 … 整体截断误差
4.欧拉法的计算流程 输入a,b,Ky h=(b-a)/K,y=yo n=0, K-1 x=a+nh, y=y+hf(x, y) 输出x+h,y 结東
输出 x+h, y 结 束 输入a, b, K, y0 h=(b-a)/K, y = y0 n = 0, 1, ..., K-1 x = a+nh, y = y+hf (x, y) 4. 欧拉法的计算流程