第二章极限的计算 极限是在研究变量的变化趋势时引出的一个基本概念 微积分学中的很多重要概念,如连续、导数、定积分、 级数等都是建立在极限的基础上 极限方法是高等数学里的重要方法
1 第二章 极限的计算 极限是在研究变量的变化趋势时引出的一个基本概念. 微积分学中的很多重要概念, 如连续、导数、定积分、 级数等都是建立在极限的基础上。 极限方法是高等数学里的重要方法
2.1极限的概念与运算法则 (一)数列极限 称按照一定顺序排列的可列个数x12x2,…,xn 为数列,记为{x},其中x称为数列的通项或第m项, n称为x的序号 如2.4.8.2 {2 1-11-1…(-1y,…(-y) 都是数列
2 （一）数列极限 2.1 极限的概念与运算法则 称按照一定顺序排列的可列个数 1 2 , , , , n x x x 为数列， , n x n 其中x n 称为数列的通项或第 项, . n n x 称为 的序号 如 2, 4, 8, ,2 , ; n 1 1 1 1, , , , , ; 2 3 n {2 } n 1 n 1 1, 1,1, 1, ,( 1) , n+ − − − 都是数列. 1 ( 1)n+ − 记为
问题:当n无限增大时(用符号n→>O表示)对应的x是否能 无限接近于某个确定的数值?若是的话,这个数值为多少? 例1:“一尺之棰,日截其半,万世不竭 《庄子杂篇天下》 第一天剩下的长度为"21、 第二天剩下的长度为X2222 第n天剩下的长度为X 由此得到一个数列 ,通项为(n∈N+ 2222 当n无限增大时,立无限地接近于0.用符号→>0表示
3 例1：“ 一尺之棰，日截其半，万世不竭 ” 1 1 ; 2 第一天剩下的长度为 X = 2 2 1 1 1 ; 2 2 2 第二天剩下的长度为 X = = 1 ; 2 n n 第n X 天剩下的长度为 = 2 3 1 1 1 1 1 , , ( ). 2 2 2 2 2 n n n N+ 由此得到一个数列 ， ， ， ， 通项为 --------《庄子.杂篇.天下》 问题: ( ), n 当n n x 无限增大时 用符号 → 表示 对应的 是否能 无限接近于某个确定的数值? 若是的话, 这个数值为多少? 1 , 0. 2 n 当n无限增大时 无限地接近于 1 0 . 2 用符号 n → 表示
两个数a与b之间的接近程度可用绝对值|b-a|来度量, b-a越小,则a与b就越接近 因为只要n足够大,xn-0即可以小于任意给定的正数, 2n 故说当n无限增大时,x,无限接近于0 例2计算由抛物线y=x2,直线x=1及x轴所围成的 曲边三角形的面积 “以直代曲
4 | | , | | , . a b b a b a a b − − 两 个 数 与 之 间 的 接 近 程 度 可 用 绝 对 值 来 度 量 越 小 则 与 就 越 接 近1 ,| 0 | 2 n n 因 为 只 要n x 足够大 − 即 可 以 小 于 任 意 给 定 的 正 数, , 0. n 故 说 当n x 无限增大时 无 限 接 近 于 例2. 2 计 算 由 抛 物 线y x x x = = , 1 直线 及 轴 所 围 成 的 曲 边 三 角 形 的 面 积. “以直代曲
数列极限的描述性定义: 给定数列{xn},若当n无限增大时,x无限地趋向于某个 常数A则称为n趋于无穷时{xn}的板限( (limit),记作 imxn=A,或x,->A(n→>) n→) 注:数列对应着数轴上一个点列可看作一动点 在数轴上依次取x,x2…,xn… limx,=A表示当n足够大时,点x都聚集在点A周围. xs xw+xnA M+244 3
注： 5 数列对应着数轴上一个点列可看作一动点 在数轴上依次取 数列极限的描述性定义: , , , n n n x n x A A n x 给定数列 若当 无限增大时 无限地趋向于某个 常数 则称 为 趋于无穷时 的极限(limit), 记作 lim , n n x A → = ( ). n 或 x A n → → 1 x 3 A x x 2 xN+1 xn xN+2 x4 x lim n n x A → = n 表示当n x A 足够大时,点 都聚集在点 的周围. 1 2 , , , , . n x x x 5 x
数学上的E-N定义 定义:设{x}是一个数列,A是一个有限数, 若∨E>0,彐N>0,使得当n>N时,总有 N时,所有的点x都落在开区间(-E,A+E内, 而只有有限多个(至多为N个)落在这区间之外
数学上的 −N 定义: 定义: 设 xn 是一个数列, A 是一个有限数, 若 0, N 0, 使得当 n N 时, 总有 , n x A− 则称数列 xn 收敛于 A, . n 或 x A 以 为极限 6 "x A n 以 为极限"的几何解释: , ( , ) , ( ) . n n N x A A N 当 − + 时 所有的点 都落在开区间 内 而只有有限多个 至多为 个 落在这区间之外
出描述性定义,镕易得劉下画数刎的极限 n→)0 (2)lim sin-=0 im cos n→0 n→ n ()lime=1 n→0 4)im(-1)不存在 n→00
= → n 1 lim cos n 1 ( ) = n→ n 1 1 lim ( ) 1 2 lim sin n→ n = ( ) 1 3 lim n n e → = (4 lim 1 ) ( ) n n→ − 0 0 1 不存在 7
数列极限的运算与性质 定理若imxn=A,imyn=B,则 n→>00 (1)lim(xn土yn)= lim x± lim y=A±B (2) lim(x ym)=lim x, lim y,=A. B; n→)0 n→00 n→00 特别imn(C·xn)= C lim x=C·A(C为常数) n→)0 limx (3)若 lim y=B≠0,则lm n→)00 n→00 Im B (lim imxn=√A,(k为偶数时,要求imxn=A≥0) n→)0 n→00 n→0
8 数列极限的运算与性质 lim , lim n n n n x A y B → → 定理 若 = = ，则 1 lim ) lim lim ; n n n n n n n x y x y A B → → → （） （ = = 2 lim ) lim lim ; n n n n n n n x y x y A B → → → （ ） （ = = lim 3 lim , lim lim n n n n n n n n n x x A y B y y B → → → → （ ）若 = = ０则 ＝ ； 4 lim lim , ( lim . k k k n n n n n n x x A k x A → → → （ ） = = = 为偶数时,要求 ０) lim ) lim ( n n n n C x C x C A C → → 特别 （ = = 为常数）
例1:求下列极限 3n-2 Im (2) lir n> n n 2n2+n 3n3+n B3)lim (4) lim n→>3n2+2 n→2n+-n 2 2 解1)im(2+-)=1m2+lm==0+2lm==0+0=0 n→>00 n→00 3n-2 (2)lim-=limB3-=lim 3-lil n→>00 n→ n→00 n→00 3-2lm-=3-0=3 n 2o n
2 2 1 2 1 2 2 (1) lim( ) lim lim 0 2lim 0 0 0 n n n n → → → → n n n n n 解： + = + = + = + = 3 2 2 2 (2) lim lim(3 ) lim 3 lim 1 3 2lim 3 0 3 n n n n n n n n n n → → → → → − = − = − = − = − = 9 例1：求下列极限 2 1 2 (1) lim( ) n→ n n + 3 2 (2) lim n n → n − 2 2 2 (3) lim n 3 2 n n → n + + 3 4 2 3 (4) lim n 2 n n → n n + −
例1:求下列极限 (1)m(-2+-)(2)im 3n-2 n-o n 2n2+n 3n3+ m 3n2+2 2n4-n 解:n2+n 2+ lim (2 n→ n→0 3n2+2 n→ 2 3+ lim( 3+ lim 2+ li n→00 n2n_2+02 lim 3+1 23+03
例1：求下列极限 ) 1 2 (1) lim ( 2 n n n + → 3 2 2 (3) lim 2 2 n + + → n n n n 3n 2 (2) lim n − → 4 2 3 n 2 3 (4) lim n n n n − + → 2 2 2 2 2 1 1 2 lim(2 ) 2 : (3) lim lim 3 2 2 2 3 lim(3 ) 1 lim 2 lim 2 0 2 . 2 3 0 3 lim 3 lim n n n n n n n n n n n n n n n n n → → → → → → → → + + + = = + + + + + = = = + + 解 10