陇南师范高等专科学校：《高等代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章 向量空间、第六章 线性方程组、第七章 线性变换、第八章 欧氏空间

第五章向量至间 5.1向量空间的定义 52向量的线性相关性 53基维数和坐标 5.4子空间 55向量空间的同构

第五章 向量空间 5.1 向量空间的定义 5.2 向量的线性相关性 5.3 基维数和坐标 5.4 子空间 5.5 向量空间的同构

§51向量空间的定义 向量空间概念的引入 向量空间的定义 、向量空间的例子 四、向量空间的基本性质

§5.1 向量空间的定义 一、向量空间概念的引入 二、向量空间的定义 三、向量空间的例子 四、向量空间的基本性质

向量空间概念的引入 例1设C是复数集合,R是实数域,对C中任意两个数a和 b,有a+b∈C,对任意的k∈R,ka∈C.并且复数集合C对数的加 法和乘法运算,满足下面的运算律: 1)a+b=b+a; 2)(a+b)+c=a+(b+C); 3)0+a=a; 4)对任意a∈C,存在b∈C,使a+b=0 5k(a+b)=ka+kb 6)(k+ya=ka+la; 7)(k)a=k(a); 8)1a=a 这里a,b,C是任意复数,k,是任意实数

一、向量空间概念的引入 例1 设C是复数集合，R是实数域，对C中任意两个数a和 b，有a+bC, 对任意的kR ，kaC. 并且复数集合C对数的加 法和乘法运算, 满足下面的运算律： 1) a+b＝b+a； 2) (a+b)+c＝a+(b+c)； 3) 0+a＝a； 4) 对任意aC ，存在bC ，使a+b＝0； 5) k(a+b)＝ka+kb； 6) (k+l)a＝ka+la； 7) (kl)a＝k(la)； 8) 1a＝a. 这里a，b，c是任意复数，k，l是任意实数

例2在平面上建立直角坐标系后,把从原点出发的一切向 量组成的集合记为v2 对V2中任意向量X和y,用平行四边形法则,有XYeV2对 任意实数k以及v2中任一向量X,有kX∈v2.并且对任意的x,Y, z∈V2,a,b∈R,有 1)X+y=y+X:; 2)(X+Y)+z=x+(+2; 3)0+X=X,其中0是v2中的零向量 4)对任意X∈V2,存在Y,使X+Y=0,其中Y是X的负向量 5a(X+y=aLtaY 6)(a+bXaX+bx; 7(ab)X=a(bX) 8)1X=X

例2 在平面上建立直角坐标系后，把从原点出发的一切向 量组成的集合记为V2 . 对V2中任意向量X和Y, 用平行四边形法则，有X+YV2 . 对 任意实数k以及V2中任一向量X，有kXV2 . 并且对任意的X, Y, ZV2，a, bR，有 1) X+Y＝Y+X； 2) (X+Y)+Z＝X+(Y+Z)； 3) 0+X＝X，其中0是V2中的零向量； 4) 对任意XV2，存在Y，使X+Y＝0，其中Y是X的负向量； 5) a(X+Y)＝aX+aY； 6) (a+b)X＝aX+bX； 7) (ab)X＝a(bX)； 8) 1X＝X

例3设厂n区是次数不超过m的系数在F中的多项式连同 零多项式组成的集合.对任意两个多项式x),g(x)∈Fnx], f(x)+9(x)∈Fn区×]又对F中的任意数k,k(x)∈Fn[x并且,对 Fn[×]中任意多项式f(x),g(x),h(x)及F中任意数a,b,有 1)f(x)+g(x)=9(×)+f(x); 2)[f(X)+g(x)]+h(x)=f(x)+[9(x)+h(x)] 3)0+f(x)=f(x,0是Fn区x]中的零多项式; 4)对任意f(x)∈Fn[×,存在g(x,使f(x)+9(x)=0; 5)a·(f(×)+g(X)=a·f(×)+a·g(X); 6)(a+b)f(×)=af(X)+bf(x); 7)(ab)·f(X)=a(bf(x); 8)1f(×)=f(×)

例3 设Fn [x]是次数不超过n的系数在F中的多项式连同 零多项式组成的集合. 对任意两个多项式f(x), g(x)Fn [x] ， f(x)+g(x)Fn [x]. 又对F中的任意数k, kf(x)Fn [x]. 并且，对 Fn [x]中任意多项式f (x), g(x), h (x)及F中任意数a, b，有 1) f (x)+g(x)＝g(x)+f (x)； 2) [f (x)+g(x)]+h(x)＝f (x)+[g(x)+h(x)]； 3) 0+f (x)＝f (x), 0是Fn [x]中的零多项式； 4) 对任意f (x)  Fn [x]，存在g(x),使f (x)+g(x)＝0； 5) a·(f (x)+g(x))＝a ·f (x) +a·g(x)； 6) (a+b) ·f (x)＝a·f (x)+b·f(x)； 7) (ab) ·f (x)＝a·(b·f(x))； 8) 1·f (x) ＝f (x)

例4设Mmn(闩是数域F上全体m×矩阵的集合,对任意的 A,B∈Mmn(P,A+B∈Mmnn(P,对任意的k∈F,kA∈Mmn(P 并且对任意的mxn矩阵A,B,C及任意的F中的数a,b,有 1)A+B=B+A; 2)(A+B)+C=A+(B+C); 3)0+A=A; 4)对任意的A∈Mmn(F,存在B,使得A+B=0 5)(A+B=aA+aB: 6)(a+b)A=aA+bA; 7(ab)A=a(bA) 8)1A=A

例4 设Mmn (F)是数域F上全体mn矩阵的集合，对任意的 A,BMmn (F) ，A+B  Mmn (F), 对任意的k F，kA  Mmn (F). 并且对任意的mXn矩阵A,B,C及任意的F中的数a，b，有 1) A+B=B+A ； 2)(A+B)+C=A+(B+C) ； 3) 0+A=A ； 4) 对任意的A  Mmn (F)，存在B，使得A+B=0 ； 5) a(A+B)=aA+aB ； 6) (a+b)A=aA+bA ； 7) (ab)A=a(bA) ； 8) 1A=A

上面例子中涉及的数学对象不同,但它们有共同点 即都有一个非空集合,一个数域,有两种运算,并且这两 种运算满足8条运算律。 C, R 1)a+B=B+a a+b, ka 2)(a++y=a+(+y) 3)0+a=a 例2 Vo, R X+Y, X 4)对任意a,存在,使得 a+B=0,称为a的负元素; 例3:Fn],F 5a(a+B=aa+. B f(x)+g(x), kf(x) 6)(a+b).a=a.a+ba: 7 a(ba=(ab).a 例4:Mm(,F A+B, KA 8)1·a=a

上面例子中涉及的数学对象不同，但它们有共同点， 即都有一个非空集合，一个数域，有两种运算，并且这两 种运算满足8条运算律。 例 1： C, R a+b，ka 例 2 ： V2 ， R X+Y ，kX 例 3： Fn [x] ，F f(x)+g(x) , kf(x) 例 4： Mmn (F), F A+B，kA —————————————------—— - 1)  +=  +  ； 2) ( +)+  ＝  + (+ ) 3) 0+  =  4) 对任意 ，存在 ，使得  +  = 0， 称为的负元素； 5) a( +) = a +a ； 6) (a+b) =a +b ； 7) a (b)=(ab) ； 8) 1 =

二、向量空间的定义 定义1设V是一个非空集合,F是一个数域.我们 把V中的元素用小写希腊字母a,B,y,…来表示 把F中的元素用a,b,C,…来表示.如果下列条件 被满足,就称V是F上的一个向量空间: 1°V有一种加法运算.即对中任意两个元素a和 B,在V中有一个唯一确定的元素与之对应,称为a 与B的和,记为a+B 2°有一个F中元素与V中元素的乘法运算.即对于 F中的任意数a和V中的任意元素a,在V有一个唯 确定的元素与之对应,称为a和α的数量积,记为 a. a

二、向量空间的定义 定义1 设V是一个非空集合，F是一个数域. 我们 把V中的元素用小写希腊字母, ，，…来表示， 把F中的元素用a，b，c，…来表示. 如果下列条件 被满足，就称V是F上的一个向量空间： 1 V有一种加法运算. 即对V中任意两个元素和 ，在V中有一个唯一确定的元素与之对应，称为 与的和，记为 . 2 有一个F中元素与V中元素的乘法运算. 即对于 F中的任意数a和V中的任意元素，在V中有一个唯 一确定的元素与之对应，称为a和的数量积，记为 a  . + ˆ ˆ 

3°上述加法和数量乘法满足下列运算规律: 1)a+B=B+a; 2)(a年)+y=a+(B+); 3)在V中存在一个元素0,使得对于任意a∈V,都有 0+a=a,(具有这个性质的元素0称为∨的零元素); 4)对于V中的每一个元素a,存在V中的元素β,使得 a+B=0,(具有这个性质的元素B叫做a的负元素) 5a(a tB)=aa taB 6)(a+b)2=a:ab; 7)(ab):a=a?(b:a) 8)1a=a 这里a,B,是V的任意元素,a,b是中的任意数

3 上述加法和数量乘法满足下列运算规律： 1)  =   ； 2) ( )  ＝  ( ) ； 3) 在V中存在一个元素0，使得对于任意V，都有 0  =  ,（具有这个性质的元素0称为V的零元素）; 4) 对于V中的每一个元素，存在V中的元素，使得   ＝0,（具有这个性质的元素叫做的负元素）; 5) a ( ) = a  a  ； 6) (a+b)  =a  b  ； 7) (ab)  =a (b ) ； 8) 1  = . 这里，，是V中的任意元素，a，b是F中的任意数. + ˆ + ˆ + ˆ + ˆ + ˆ + ˆ + ˆ + ˆ + ˆ ˆ  ˆ  ˆ  ˆ  ˆ  ˆ  ˆ  ˆ  ˆ  ˆ  + ˆ + ˆ

三、向量空间的例子 由例1、例2、例3、例4及向量空间的定 义知,复数域C作成实数域R上的向量空间; V2作成实数域R上的向量空间;Fn]作成数 域F上的向量空间;Mnxn(F作成数域F上的 向量空间 例5令C[a,的为闭区间a,b上所有实连 续函数的集合,R为实数域。则C[a,b]对函 数的加法和实数与函数的乘法运算作成实数 域尺上的向量空间

例5 令C [a, b]为闭区间[a, b]上所有实连 续函数的集合，R为实数域。则C [a, b]对函 数的加法和实数与函数的乘法运算作成实数 域R上的向量空间. 三、向量空间的例子 由例1、例2、例3、例4及向量空间的定 义知，复数域C作成实数域R上的向量空间； V2作成实数域R上的向量空间； Fn [x] 作成数 域F上的向量空间； Mmn (F)作成数域F上的 向量空间