第3章随机向量 随机向量及其概率分布 °随机向量的联合分布函数 随机变量函数的分布
第3章 随机向量 •随机向量及其概率分布 •随机向量的联合分布函数 •随机变量函数的分布
第31节随机向量及其概率分布 例如射击一次问击中否?击中几环?击中点的坐标?击中 点到靶心的距离? 1.n维随机向量 以n个随机变量X1,X2,…,Xn为分量的向量 X=(X1,X2Xn)称为n维随机向量。 以下主要研究二维离散型及连续型随机向量的情形 2.二维离散型随机向量的联合概率分布、边缘概率分布 定义如果二维随机向量(X,Y)的全部取值数对为有限 个或至多可列个,则称随机向量(ⅩY)为离散型的 易见,二维随机向量(XY)为离散型的等价于它的每个分量 Ⅹ与Y分别都是一维离散型的
1. n 维随机向量 以 n 个随机变量 X1，X2，…，Xn 为分量的向量 X=(X1 ,X2 ,…,Xn )称为n维随机向量。 以下主要研究二维离散型及连续型随机向量的情形。 2. 二维离散型随机向量的联合概率分布、边缘概率分布 定义 如果二维随机向量（X,Y）的全部取值数对为有限 个或至多可列个，则称随机向量（X,Y）为离散型的。 易见，二维随机向量(X,Y)为离散型的等价于它的每个分量 X与Y分别都是一维离散型的。 第3.1节 随机向量及其概率分布 例如射击一次.问击中否?击中几环?击中点的坐标?击中 点到靶心的距离?
联合概率分布 称p1→PX=xY=y(j=1,2…,)为(XY)的联合概率分布其 中E={(xY)i=1,2,}为(XY)的取值集合,表格形式如下 Y y1 y2 p p12 p1i p21p22 p ●● ●●● X Pil pi2 ●●● Pⅱj 联合概率分布性质 Pi20; 15- ②∑Σpn=1 计算P{(X,Y)∈D}=>P xy)∈D
称pij=P(X=xi ,Y=yj ),(i,j=1,2,…,)为(X,Y)的联合概率分布.其 中E={(xi ,yj ),i,j=1,2,...}为(X,Y)的取值集合,表格形式如下: X x1 x2 … x i … y1 y2 … y j … p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … … … … … … pi1 pi2 … p i j … … … … … … Y 计算P{(X,Y)∈D }= x y D ij i j p ( ) , 联合概率分布性质 ① pij≥0 ;i,j=1,2,… ②∑∑pij = 1; 联合概率分布
边缘概率分布 (1)定义随机向量X=(X1,X2,,Xn)中每一个X的分布, 称为X关于X的边缘分布 (2)边缘分布列 对于离散型随机向量(X,Y,分量X,Y的分布列称为 边缘分布列。 若(XY)的联合概率分布为pP(X=X,Y=y)=1,2,,则 PX=x)=P(X=x)∩∑(Y=y)(i=1,2, ∑PX=x)(Y=y)=∑PX=x,Y=y)=∑ 同理P(Y=y1)=∑P(G=12 般地记P(X-x)P;P(Y=y)= 概率分布表如下:
(1) 定义 随机向量X=（X1 ,X2 ,…,Xn）中每一个Xi的分布， 称为X关于Xi的边缘分布。 (2) 边缘分布列 对于离散型随机向量(X,Y),分量X,Y的分布列称为 边缘分布列。 若(X,Y)的联合概率分布为pij=P{X=xi ,Y=yj ),i,j=1,2,...,则 ( ) {( ) [ ( )]} i i j j P X x P X x Y y = = = = {( ) ( )} i j j = = = P X x Y y ( , ) i j j = = = P X x Y y = j ij p (i=1,2,...) 同理 ( )j ij i P Y y p = = 一般地,记: P(X=xi ) Pi . P(Y=yj ) P. j (j=1,2,...) 概率分布表如下: 边缘概率分布
x1|PnP12…P p21p2P2|P2 P1P12∵Pn p P;P1p2…P
X Y . j y y y 1 2 x i xx 21 i1 i2 i j 2 1 2 2 2 j 1 1 1 2 1 j p p p p p p p p p Pi .2 . 1 . i ppp P. j p.1 p.2 p. j
独立性若(XY)的联合概率分布满足 PiX==; Y-y=P(X=Xi)P(Y=y,) 称X与Y独立。 例1某盒子中有形状相同的2个白球,3个黑球。从中 个个取球,令 第i次取白球 i=1,2 0第次取黑球 分放回或不放回情形 求:(1)(YY2)的联合概率分布 (2)边缘概率分布 (3)讨论Y1与Y2的独立性
独立性 若(X,Y)的联合概率分布满足 P{X=xi ,Y=yj )=P(X=xi )P(Y=yj ) 称X与Y独立。 例1 某盒子中有形状相同的2个白球， 3个黑球。从中 一个个取球，令 (3) Y Y 。 (2) ; : (1)(（ Y ， Y ） ； i 1,2 0 i 1 i Y 1 2 1 2 i 讨 论 与 的独立性 边缘概率分布 求 的联合概率分布 分放回或不放回情形 第 次取黑球 第 次取白球 = =
不放回 放回 0 3/103/10 9/256/25 3/101/10 6/254/25 YI 0 Y1 3/52/5 3/52/5 3/52/5 3/52/5 PXX,Yyi*P(X=XiP(Y=,) 不独立 PiX-X, Y=yj =P(X=Xi)P(Y=yi 独立
Y2 0 1 Y1 0 1 3/10 3/10 3/10 1/10 Y1 0 1 P 3/5 2/5 Y2 0 1 P 3/5 2/5 Y1 0 1 P 3/5 2/5 Y2 0 1 P 3/5 2/5 Y2 0 1 Y1 0 1 9/25 6/25 6/25 4/25 不放回 放回 P{X=xi ,Y=yj ) ≠P(X=xi )P(Y=yj ) 不独立 独立 P{X=xi ,Y=yj )=P(X=xi )P(Y=yj )
例2二维随机向量(xY)的联合概率分布为:日囗 007 求:(1)常数a的取值; -10.050.1 0.10.2 2)P(X≥0,Y<1) a0.2:0.05 (3)P(X≤1,Y≤1 解(1)由∑p11得:a=0.1 2)由P(x,Y)∈D=∑P得PXQY)=P(x=0Y=0)+ (x,y)∈D P(X=0,Y=1)+P(Ⅹ=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.1+02+0.1+02=0.6 (3)P(X≤1,Y1)=P(X=-1,Y=0+P(X=-12Y=1)+P(x=0,Yy=0) +P(Ⅹ=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.75
例2 二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为: X -1 0 1 Y 0 1 2 0.05 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 a 0.2 0.05 求:(1)常数a的取值; (2)P(X≥0,Y≤1); (3) P(X≤1,Y≤1) 解 (1)由∑pij=1得: a=0.1 (2)由P{(X,Y)∈D}= x y D ij i j p ( ) , 得 P(X≥0,Y≤1)= P(X=0,Y=0)+ P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.1+0.2+0.1+0.2=0.6 (3)P(X≤1,Y≤1) =P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0) +P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1) =0.75
二维随机向量区域概率图 Y 2 P{X0,Y≤1}
X Y 二维随机向量区域概率图: -1 0 1 2 1 P(X≤1,Y≤1} P{X≥0,Y≤1}
例3设XY的联合概率分布为:求(XY的边缘分布; (2)X+Y的概率分布 0050.10.1 解(1)由分析得 0.10.2 0.10.2005 P|0.25040.35 Y 2)X+Y的取值为-1,0,1,2,3, P0.250.50.25 P(X+Y=-1)=P(Ⅹ=-1,Y=0=0.05 P(X+Y=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.2 P(X+Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=2)=0.4 同理P(X+Y=2)=0.3,P(X+Y=3)0.05 X+Y-10123 所以 P0.050.20.403005
例3 设(X,Y)的联合概率分布为: X -1 0 1 Y 0 1 2 0.05 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 0.2 0.05 求:(1)X,Y的边缘分布; (2)X+Y的概率分布. 解 (1)由分析得: X -1 0 1 P 0.25 0.4 0.35 Y 0 1 2 (2)X+Y的取值为-1,0,1,2,3, P 0.25 0.5 0.25 P(X+Y=-1)=P(X=-1,Y=0)=0.05 P(X+Y=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=-1,Y=1)=0.2 P(X+Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0) +P(X=-1,Y=2)=0.4 同理,P(X+Y=2)=0.3, X+Y -1 0 1 2 3 P 0.05 0.2 0.4 0.3 0.05 P(X+Y=3)=0.05 所以