集合及其运算
集合及其运算 1
回顾 问题1:什么叫证明? 表明定理为真的有效论证;演绎推理 问题2:常见的证明方法有哪些? 直接证明、间接证明、归谬法、分情形证明、等价性证 明、存在性证明、唯一性证明 问题3:什么是猜想?有哪些有意思的猜想? 尚未被证明的可能为真的陈述:费马大定理、四色定理、 哥德巴赫猜想、庞加莱定理、黎曼猜想
回顾 问题1：什么叫证明？ - 表明定理为真的有效论证；演绎推理 问题2：常见的证明方法有哪些？ - 直接证明、间接证明、归谬法、分情形证明、等价性证 明、存在性证明、唯一性证明 问题3：什么是猜想？有哪些有意思的猜想？ - 尚未被证明的可能为真的陈述：费马大定理、四色定理、 哥德巴赫猜想、庞加莱定理、黎曼猜想
本节提要 问题1:什么是集合、集合论? 问题2:集合的基本概念有哪些? 问题3:如何进行集合运算与集合公式证明?
本节提要 问题1：什么是集合、集合论？ 问题2：集合的基本概念有哪些？ 问题3：如何进行集合运算与集合公式证明？
引言 口集合论说是现代数学的基础理论 口集合、关系、函数、无穷等 口1900年国际数学大会 口H. Poincare:“借助集合论.可以建造数学大厦…今天我 们可以宣称绝对的严密已经实现了! 口随后发现了 Cantor集合论中的一些悖论 口如1901年的罗素悖论:“要给所有不自已理发的人理 发,不给所有自己理发的人理发” 口G. Frege评论:当大厦竣工时基础却动摇了
引言 集合论说是现代数学的基础理论 集合、关系、函数、无穷等 1900年国际数学大会 H. Poincare:“借助集合论…可以建造数学大厦…今天我 们可以宣称绝对的严密已经实现了!” 随后发现了Cantor集合论中的一些悖论 如1901年的罗素悖论： “要给所有不自己理发的人理 发，不给所有自己理发的人理发” G. Frege评论：当大厦竣工时基础却动摇了 4
罗素悖论 口罗素悖论:{x|P(x)}未必产生集合,令 R={xxx,则若R为集合则R∈RRER矛盾, 故R不为集合 口考虑一切集合的集合A,这个集合A本身也是集合, 所以属于本身A 口除A以外的集合构成集合R={xx∈x},R表示不属 于自己的集合的集合:若集合R属于R,根据定义R 不属于R;若R不属于R,根据定义R属于R。即这样 的集合R不存在。 口这与朴素集合论的概括原则相矛盾
罗素悖论 罗素悖论：{𝑥|𝑃(𝑥)}未必产生集合，令 𝑅={𝑥|𝑥∉𝑥}，则若𝑅为集合则𝑅∈𝑅↔𝑅∉𝑅矛盾， 故𝑅不为集合 考虑一切集合的集合A，这个集合A本身也是集合， 所以属于本身A 除A以外的集合构成集合R={𝒙|𝒙 ∉ 𝒙}，R表示不属 于自己的集合的集合：若集合R属于R，根据定义R 不属于R；若R不属于R，根据定义R属于R。即这样 的集合R不存在。 这与朴素集合论的概括原则相矛盾 5
公理化集合论 危机的解决: 公理化集合论 在朴素集合论基础上,通过公理对集合加以限制。 例如:ZF公理化集合论的正则公理避免了罗素悖论 正则公理:每一个非空集合x,总包含着一元素y,使 x与y为不相交。 对于集合x,根据正则公理有{x}里面有一个元素跟{x} 交集为空,即xn{x}=p,即x日x
公理化集合论 6 危机的解决： 公理化集合论 在朴素集合论基础上，通过公理对集合加以限制。 例如：ZF公理化集合论的正则公理避免了罗素悖论 正则公理：每一个非空集合x，总包含着一元素y，使 x与y为不相交。 对于集合x，根据正则公理有{x}里面有一个元素跟{x} 交集为空，即𝒙∩{𝒙} = ∅，即𝐱 ∉ 𝐱
集合的概念 口集合没有明确的定义, G. Cantor给出了一种刻划 “吾人直观或思维之对象,如为相异而确定 之物,其总括之全体即谓之集合,其组成此 集合之物谓之集合之元素。 通常用大写字母表示集合,如A、B、C等 用小写字母表示元素,如a、b、c等。若集 合A系由a、b、c等诸元素所组成,则表如 A={ab,C…},而a为A之元素,亦常用a∈A之 记号表之者,a非A之元素,则记如a∈A。” (肖文灿译于1939年,《集合论初步》,商务印书馆)
集合的概念 集合没有明确的定义，G.Cantor给出了一种刻划： 7 “吾人直观或思维之对象，如为相异而确定 之物，其总括之全体即谓之集合，其组成此 集合之物谓之集合之元素。 通常用大写字母表示集合，如𝐴、𝐵、𝐶等， 用小写字母表示元素，如𝑎、𝑏、𝑐等。若集 合𝐴系由𝑎、𝑏、𝑐等诸元素所组成，则表如 𝐴={𝑎,𝑏,𝑐,⋯}，而𝑎为𝐴之元素，亦常用𝑎∈𝐴之 记号表之者，𝑎非𝐴之元素，则记如𝑎∉𝐴。 ” （肖文灿译于1939年，《集合论初步》，商务印书馆）
例 口1,23为集合,“自然数之全体”为集合;但诸如 “甚大之数”或“与P点接近之点”则不能为集 合,因其界限不清 口集合中的元素互异,我们把元素的重复看作一次 出现,如{2,2,33}={2,3} 口 Cantor提到的“总括之全体”之“总括”,可由 集合的外延公理和概括原则来描述
例 1,2,3为集合，“自然数之全体”为集合；但诸如 “甚大之数”或“与𝑷点接近之点”则不能为集 合，因其界限不清 集合中的元素互异，我们把元素的重复看作一次 出现，如{2,2,3,3}={2,3} Cantor提到的“总括之全体”之“总括”，可由 集合的外延公理和概括原则来描述 8
集合的大小 口有限集合及其基数 口若S恰有n个不同的元素,n是自然数,就说S是有限集合, 而n是S的基数,记作|S|=n 口无限集合 口如果一个集合不是有限的,就说它是无限的
集合的大小 有限集合及其基数 若S恰有n个不同的元素，n是自然数，就说S是有限集合， 而n是S的基数，记作|S|=n 无限集合 如果一个集合不是有限的，就说它是无限的。 9
外延公理与概括原则 口(zF1)外延公理:集合由其元素完全决定 A=Bvx(x∈A+x∈B) 故证明集合A=B只需证明xx∈Aex∈B) 口概括原则:对于人们直观或者思维之对象x的任 性质P(x),存在集合S的元素恰为具有性质P 的那些对象,记为S={x|Px)}从而对任何a, a∈SeP(a),例如{1,2,3}={xx=1vx=2Yx=3}
外延公理与概括原则 (ZF.1)外延公理：集合由其元素完全决定 𝐴=𝐵↔∀𝑥(𝑥∈𝐴↔𝑥∈𝐵) 故证明集合𝐴=𝐵只需证明∀𝑥(𝑥∈𝐴↔𝑥∈𝐵) 概括原则：对于人们直观或者思维之对象𝑥的任 一性质𝑃(𝑥)，存在集合𝑆的元素恰为具有性质𝑃 的那些对象，记为𝑆={𝑥|𝑃(𝑥)}。从而对任何𝑎， 𝑎∈𝑆↔𝑃(𝑎)，例如{1,2,3}={𝑥|𝑥=1∨𝑥=2∨𝑥=3} 10