第5章目标规划 第1节目标规划的数学模型 ˉ第2节解目标规划的图解法 第3节解目标规划的单纯形法 ■第4节灵敏度分析 ■第5节应用举例 清华大学出版社
清华大学出版社 2 第5章 目标规划 ◼第1节 目标规划的数学模型 ◼第2节 解目标规划的图解法 ◼第3节 解目标规划的单纯形法 ◼第4节 灵敏度分析 ◼第5节 应用举例
第1节目标规划的数学模型 令为了说明目标规划与线性规划在处理问题方法上的区 别,先通过例子来介绍目标规划的有关概念及数学模 型。 清华大学出版社
清华大学出版社 3 第1节 目标规划的数学模型 ❖ 为了说明目标规划与线性规划在处理问题方法上的区 别，先通过例子来介绍目标规划的有关概念及数学模 型
第1节目标规划的数学模型 今例1某工厂生产I,Ⅱ两种产品,已知有关数据见下表。 试求获利最大的生产方案。 1Ⅱ拥有量 「原材料(kg)2111 设备(hr) 2|10 利润(元/件)810 解:这是求获利最大的单目标的规划问题,用x1,x2分别 表示Ⅰ,Ⅱ产品的产量,其线性规划模型表述为: 目标函数:maxz=8x1+10x2 2x1+x2≤ 满足约束条件:{x1+2x2≤10 x1,x2≥0 清华大学出版社
清华大学出版社 4 第1节 目标规划的数学模型 ❖ 例1 某工厂生产Ⅰ，Ⅱ两种产品，已知有关数据见下表。 试求获利最大的生产方案。 ❖ 解：这是求获利最大的单目标的规划问题，用x1，x2分别 表示Ⅰ，Ⅱ产品的产量，其线性规划模型表述为： Ⅰ Ⅱ 拥有量 原材料(kg) 设备(hr) 2 1 1 2 11 10 利润(元/件) 8 10 + + = + , 0 2 10 2 11 max 8 10 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x z x x 满足约束条件： 目标函数：
第1节目标规划的数学模型 用图解法求得最优决策方案为:x1=4,x2=3,==62(元) 目标函数:maxz=8x+10x2 2x+x211 满足约束条件:{x1+2x2≤10 ≥0 (43) 清华大学出版社
清华大学出版社 5 第1节 目标规划的数学模型 ❖ 用图解法求得最优决策方案为：x1 *=4, x2 *=3, z *=62(元)。 (4,3) + + = + , 0 2 10 2 11 max 8 10 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x z x x 满足约束条件： 目标函数：
第1节目标规划的数学模型 今实际上,工厂在作决策时,需要考虑包括市场因素在内 等一系列条件。例如 (1)根据市场信息,产品Ⅰ的销售量有下降的趋势,因而希望产 品Ⅰ的产量不应大于产品Ⅱ o(2)当超过计划供应原材料时,需用高价采购,会使成本大幅度 增加。 o(3)应尽可能充分利用设备台时,但不希望加班。 o(4)应尽可能达到并超过计划利润指标:56元。 清华大学出版社
清华大学出版社 6 第1节 目标规划的数学模型 ❖ 实际上，工厂在作决策时，需要考虑包括市场因素在内 等一系列条件。例如: (1)根据市场信息，产品Ⅰ的销售量有下降的趋势，因而希望产 品Ⅰ的产量不应大于产品Ⅱ。 (2)当超过计划供应原材料时，需用高价采购，会使成本大幅度 增加。 (3)应尽可能充分利用设备台时，但不希望加班。 (4)应尽可能达到并超过计划利润指标：56元
第1节目标规划的数学模型 φ这样的产品决策问题便构成了一个多目标决策问题,目 标规划方法正是解这类决策问题的方法之一。下面引入 与目标规划模型有关的概念 1设x,x为决策变量,引入正、负偏差变量d,d。 正偏差变量d+表示决策值超过目标值的部分; 负偏差变量d表示决策值未达到目标值的部分。 因决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值, 即恒有 c+×d=0。 清华大学出版社
清华大学出版社 7 第1节 目标规划的数学模型 ❖ 这样的产品决策问题便构成了一个多目标决策问题，目 标规划方法正是解这类决策问题的方法之一。下面引入 与目标规划模型有关的概念。 ❖ 1.设x1，x2为决策变量，引入正、负偏差变量d + ，d −。 正偏差变量d＋表示决策值超过目标值的部分； 负偏差变量d −表示决策值未达到目标值的部分。 因决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值， 即恒有 d +×d − = 0
第1节目标规划的数学模型 今2.绝对约束和目标约束 绝对约束是指必须严格满足的等式约束和不等式约束,如线性规划问题的所 有约束条件,不能满足这些约束条件的解称为非可行解,所以它们是硬约束。 σ目标约束是目标规划特有的,可把约束右端项看作要追求的目标值。在达到 此目标值时允许发生正或负偏差。因此在这些约束中加入正、负偏差变量, 它们是软约束。 o线性规划问题的目标函数,在给定目标值和加入正、负偏差变量后可变换为」 目标约束。也可根据问题的需要将绝对约束变换为目标约束,如可将例1的 目标函数 z=8x1+10x 变换为目标约束 8x1+10x2+d1-d1+=56 约束条件 2x1+x2<1l 变换为目标约束 2x1+x2+d2-a2=11 清华大学出版社
清华大学出版社 8 第1节 目标规划的数学模型 ❖ 2.绝对约束和目标约束 绝对约束是指必须严格满足的等式约束和不等式约束，如线性规划问题的所 有约束条件，不能满足这些约束条件的解称为非可行解，所以它们是硬约束。 目标约束是目标规划特有的，可把约束右端项看作要追求的目标值。在达到 此目标值时允许发生正或负偏差。因此在这些约束中加入正、负偏差变量， 它们是软约束。 线性规划问题的目标函数，在给定目标值和加入正、负偏差变量后可变换为 目标约束。也可根据问题的需要将绝对约束变换为目标约束，如可将例1的 目标函数 z=8x1+10x 变换为目标约束 8x1+10x2+d1 −−d1 +=56 约束条件 2x1+x2≤11 变换为目标约束 2x1+x2+d2 −−d2 +=11
第1节目标规划的数学模型 令3优先因子(优先等级)与权系数 o一个规划问题常常有若干目标。但决策者在要求达到这些目标时, 会有主次或轻重缓急的不同。例如,要求第一位达到的目标赋予 优先因子P1,次位的目标赋予优先因子P2,…,并规定 P>P+1k=12 ··· K 表示P比Pk1有更大的优先权。即首先保证P级目标的实现,这时 可不考虑次级目标;而P2级目标仅在实现P级目标的基础上才会 考虑;依此类推。若要区别具有相同优先因子的两个目标的差别, 可分别赋予它们不同的权系数,这些都由决策者按具体情况而 定 清华大学出版社
清华大学出版社 9 第1节 目标规划的数学模型 ❖ 3.优先因子(优先等级)与权系数 一个规划问题常常有若干目标。但决策者在要求达到这些目标时， 会有主次或轻重缓急的不同。例如，要求第一位达到的目标赋予 优先因子P1，次位的目标赋予优先因子P2，…，并规定 Pk>>Pk+1 k=1,2,…，K 表示Pk比Pk+1有更大的优先权。即首先保证P1级目标的实现，这时 可不考虑次级目标；而P2级目标仅在实现P1级目标的基础上才会 考虑；依此类推。若要区别具有相同优先因子的两个目标的差别， 可分别赋予它们不同的权系数wj，这些都由决策者按具体情况而 定
第1节目标规划的数学模型 今4.目标规划的目标函数 o目标规划的目标函数(准则函数)是按各目标约束的正、负偏差变 量和赋予的优先因子及权系数而构造的。当每一目标值确定后, 决策者的要求是尽可能缩小和目标值的偏差。因此目标规划的目 标函数的形式通常是 min af(d, d 其具体形式大致有三种: (1)若要求恰好达到目标值,则应要求正、负偏差变量均尽可能地小, 这时,目标函数的形式为 min =f(d++d) (2)若要求不超过目标值,即允许达不到目标值,但正偏差变量要尽可 能地小,这时目标函数的形式为 min sf(d) (3)若要求超过目标值,即超过量不限,但负偏差变量要尽可能地小, 这时目标函数的形式为 min zf(d) 清华大学出版社
清华大学出版社 10 第1节 目标规划的数学模型 ❖ 4.目标规划的目标函数 目标规划的目标函数(准则函数)是按各目标约束的正、负偏差变 量和赋予的优先因子及权系数而构造的。当每一目标值确定后， 决策者的要求是尽可能缩小和目标值的偏差。因此目标规划的目 标函数的形式通常是 min z=f(d + ,d − ) 其具体形式大致有三种： (1) 若要求恰好达到目标值，则应要求正、负偏差变量均尽可能地小， 这时，目标函数的形式为 min z=f(d ++d − ) (2) 若要求不超过目标值，即允许达不到目标值，但正偏差变量要尽可 能地小，这时目标函数的形式为 min z=f(d + ) (3) 若要求超过目标值，即超过量不限，但负偏差变量要尽可能地小， 这时目标函数的形式为 min z=f(d − )
第1节目标规划的数学模型 冷例2例1的决策者在原材料供应受严格限制的基础上考虑:首先是产 品Ⅱ的产量不低于产品I的产量;其次是充分利用设备有效台时, 不加班;再次是利润额不小于56元。求最佳决策方案。 解:按决策者所的要求,分别赋予这三个目标优先因子P1,P2,P 得到本问题的数学模型为: 目标函数:minz=P1+P2(d2+d)+Pd3 「2x+x2≤11 x-x2+d1-d+=0 满足约束条件:x1+2x2+d2-d=10 8x1+10x2+d3-d3=56 d1,d#≥0,i=12,3 清华大学出版社
清华大学出版社 11 第1节 目标规划的数学模型 ❖ 例2 例1的决策者在原材料供应受严格限制的基础上考虑：首先是产 品Ⅱ的产量不低于产品Ⅰ的产量；其次是充分利用设备有效台时， 不加班；再次是利润额不小于56元。求最佳决策方案。 解：按决策者所的要求，分别赋予这三个目标优先因子P1，P2，P3， 得到本问题的数学模型为： = + + − = + + − = − + − = + = + + + − + − + − + − + + − + − , , , 0, 1,2,3 8 10 56 2 10 0 2 11 min ( ) 1 2 1 2 3 3 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 2 3 3 x x d d i x x d d x x d d x x d d x x z Pd P d d P d i i 满足约束条件： 目标函数：