第七章非负矩阵 §71非负矩阵及其谱半径性质
第七章 非负矩阵 §7.1 非负矩阵及其谱半径性质
非负矩阵 定义,/Rn,若an20,称A是非负矩阵 记作A≥0.若an>0,称A是正矩阵,记作A>0.若 A-B≥0,即an≥b,记作A≥B 绝对阵:对A={}∈Cm,称4={}为A的绝对 阵
定义：设 n n A a R ij = ，若 0 ij a ，称A 是非负矩阵， 记 作 A 0 .若 0 ij a ， 称 A 是正矩阵，记作 A 0 .若 A B− 0，即 ij ij a b ，记作 A B . *绝对阵：对 n n A a C ij = ，称 A a = ij 为 A 的绝对 阵. 非 负 矩 阵
非负矩阵 *基本性质 ()设A≤B,则 2A≤B,V≥0; B′ 2)ABs4B,进而Ps4
非 负 矩 阵 *基本性质 (1) 设 A B ，则 (i) A B ， 0； (ii) m m A B . (2) AB A B ，进而 m m A A
谱半径性质 谱半径性质 定理71设A∈Cm,B∈R”,若A≤B,则p(4)≤P(B) 推论: (1)特别取B=4,故可得以(4)≤(4).于是若4≤B,则 p(A≤p(4)≤p(B) (2)若A≥0,A是A的k阶主子阵,则p(A)≤D(A)特别对vi, 有an≤p(A)
谱半径性质 一．谱半径性质 定理 7.1 设 n n A C ， n n B R ，若 A B ，则 ( ) ( ) A B . 推论： (1) 特别取 B A = ，故可得 ( ) ( ) A A .于是若 A B ，则 ( ) ( ) ( ) A A B . (2) 若 A 0，Ak 是 A 的k 阶主子阵，则 ( ) ( ) A A k .特别对i ， 有 ( ) ii a A
Perron定理和 Frobenius定理 §71 Perron定理和 Frobenius定理
§7.1 Perron定理和Frobenius定理 Perron定理和Frobenius定理
Perron定理和 Frobenius定理 二. Perron定理和 Frobenius定理 定理72( Perron定理)设A>0,则 (1)p(A)>0; (2)p(A是A的一个单特征值; ()存在唯一的x>0,使得Ax=D(4Ax,|xl=1
Perron定理和Frobenius定理 二．Perron 定理和 Frobenius 定理 定理 7.2（Perron 定理）设 A 0 ，则 (1) ( ) 0 A ； (2) ( ) A 是 A 的一个单特征值； (3) 存在唯一的 x 0，使得 Ax A x = ( ) ， 1 x =1；
Perron定理和 Frobenius定理 (4)存在唯一的y>0,使得Ay=p(A)y,yx=1; 5)对v∈0(A),若≠(,则<以(4); (6)lim P (A)A=xy n→0
Perron定理和Frobenius定理 (4) 存在唯一的 y 0，使得 ( ) T A y A y = ， 1 T y x = ； (5) 对 ( ) A ，若 ( ) A ，则 ( ) A ； (6) 1 lim ( ) m T m A A xy − → =
Perron定理和 Frobenius定理 需要以下引理 引理1设≠0(i=1;…,m),则 ∑:|= 台存在O∈R,使得e二1>0,j=1,…,m(m个二,处在同一射线上)
Perron定理和Frobenius定理 需要以下引理： 引理 1 设 0 i z ( 1, , ) i m = ，则 1 1 m m j j j j z z = = = 存在 R，使得 0 i j e z ， j m =1, , （m 个 j z 处在同一射线上）
Perron定理和 frobenius定理 引理2设A>0,Ax=Ax,|=(A,0≠x∈C",则 x=p(4)x,x>0 (2)存在∈R,使得y=ex>0也是的特征向量 引理3λ是A的一个单特征值的充要条件是 (1)ramk(I-A)=n-1,即元的几何重数为1 (2)左右特征值向量u,,满足uv≠0
Perron定理和Frobenius定理 引理 2 设 A 0 ， Ax x = ， = ( ) A ，0 n x C ，则 (1) A x A x = ( ) ， x 0； (2) 存在 R，使得 0 i y e x = 也是 的特征向量. 引理 3 是 A 的一个单特征值的充要条件是 (1)rank I A n ( ) 1 − = − ，即 的几何重数为 1. (2) 左右特征值向量u ，v ，满足 0 T u v
Perron定理和 Frobenius定理 定理73设A≥0,则 (1)p(A是A的特征值; (2)存在x≥0,x≠0,使得Ax=p(A)x
Perron定理和Frobenius定理 定理 7.3 设 A 0，则 (1) ( ) A 是 A 的特征值； (2) 存在 x 0 ， x 0，使得 Ax A x = ( )