《幾何原本》的五大公設 ☆過任意兩點可連成一直線 ⊙任意直線可向它的兩方延長 以任意點為圓心,任意長度為半徑,可劃一圓 凡直角皆相等 ①若一直線與兩直線相交,且同旁的兩角之和小 於兩直角,則兩直線向該旁延長必定相交
《幾何原本》的五大公設 ¶過任意兩點可連成一直線 ·任意直線可向它的兩方延長 ¸以任意點為圓心，任意長度為半徑，可劃一圓 ¹凡直角皆相等 º若一直線與兩直線相交，且同旁的兩角之和小 於兩直角，則兩直線向該旁延長必定相交
第五公設 a+b<180 b
第五公設 a b a + b <180o
第五公設的另類陳方式 通過一直線L以外的一點P,只能畫出 條與L平行的直線
第五公設的另類陳述方式 • 通過一直線 L 以外的一點 P，只能畫出 一條與 L 平行的直線 L P
三角形的内角之和是180 若一四邊形有一對對邊相等,且它們與 第三邊構成的角為直角’則其餘的兩隻 角也是直角 D A B
• 三角形的內角之和是180o • 若一四邊形有一對對邊相等，且它們與 第三邊構成的角為直角，則其餘的兩隻 角也是直角 A B C D
對第五公設的質疑 ·不像前面四條公設一樣簡單,而是辭句 冗長,意義含混 其他公設都具有“有限”的特徵,只涉 及直線的有限部分或有限範圍内的平面 圖形 從300BC到1800AD,就有人企圖用 個更簡單的命題去推論它’但沒能成功
對第五公設的質疑 • 不像前面四條公設一樣簡單，而是辭句 冗長，意義含混 • 其他公設都具有“有限”的特徵，只涉 及直線的有限部分或有限範圍內的平面 圖形 • 從300BC到1800AD，就有人企圖用一 個更簡單的命題去推論它，但沒能成功
推證第五公設的兩種思路 種是用比較自明的敘迹來取代平行 又 ·另一種是嘗試由歐幾里得的其餘公設 推出平行公設
推證第五公設的兩種思路 • 一種是用比較自明的敘述來取代平行 公設 • 另一種是嘗試由歐幾里得的其餘公設 推出平行公設
推證失敗的原因 所有證明都使用了和公設五 等價的命題,即邏輯學上所 調的“循環論證
推證失敗的原因 • 所有證明都使用了和公設五 等價的命題，即邏輯學上所 謂的“循環論證
例: Legendre(1752~1833)所用的命題: 「過銳角θ的一條邊上任一點M作該邊的 垂線,必舆另一邊相交。」
• 例：Legendre(1752~1833)所用的命題： 「 過銳角的一條邊上任一點M作該邊的 垂線，必與另一邊相交。」 M
採用歸謬法的進路 歐氏第5公設:通過直線AB以外的一點P 只能作出一條與AB平行的直線。』 跟它矛盾的命題有兩種形式 (1)過P點沒有直線與AB平行 (2)過P點有不只一保直線與AB平行
採用歸謬法的進路 • 歐氏第5公設：『通過直線AB以外的一點P， 只能作出一條與AB平行的直線。』 • 跟它矛盾的命題有兩種形式： (1)過 P 點沒有直線與 AB 平行 (2)過 P 點有不只一條直線與 AB 平行
薩謝利( Saccherri,1667~1733) 的四邊形定理 「若AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD,则 ∠ACD=∠BDC且都是銳角
薩謝利 (Saccherri, 1667~1733) 的四邊形定理 • 「若ACAB，BD AB，AC=BD，則 ACD= BDC，且都是銳角。」 A B C D
