《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十一章 曲线积分与曲面积分第三节 格林公式及其应用

第三节 第十一章 格林公式及其应用 格林公式 平面上曲线积分与路径无关的 等价条件 全微分方程

第三节 一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件 格林公式及其应用 第十一章 *三、全微分方程

格林公式 区域连通性的分类 设D为平面区域,如果D内任一闭曲线 所围成的部分都属于D,则称D为平面单连 通区域;否则称为复连通区域 D D 单连通区域 复连通区域 无“洞”(包含点洞区域)(有“洞”(包含点洞区域

一、 格林公式 单连通区域 复连通区域 区域连通性的分类 设 D 为平面区域, 如果 D内任一闭曲线 所围成的部分都属于 D, 则称 D 为平面单连 通区域; 否则称为复连通区域 . D D ( 无“洞”(包含点洞)区域 ) ( 有“洞”(包含点洞)区域 )

规定:平面区域D的边界曲线L的正方向? (负方向 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左侧 (右侧 D D

平面区域 D的边界曲线L的正方向 当观察者沿边界行走时, 区域D总在他的左侧. (负方向) ? (右侧) D D 规定:

定理1设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,函数 P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数则有 d Or o, )dxdy=d, Pdx+ody 其中L是D的取正方向的边界曲线 另一种记法: Green公式 00 aP Pax +Od

定理1 则有          L D dxdy Pdx Qdy y P x Q ( ) Green 公式 函数 . L D dxdy Pdx Qdy x y P Q         另一种记法 :

分析: 00 aP 待证表达式 dcy=Pax+Q小y ax a 等价于证明 00 aP dxdy=b edy dxdy=kPdx O Y型区域 X型区域 既X又Y型 单连通 证明依赖于区域的形状 一般区域 复连通

         L D dxdy Pdx Qdy y P x Q 待证表达式 ( )      L D dxdy Qdy x Q       L D dxdy Pdx y P 等价于证明 Y型区域 X型区域 分析： 证明依赖于区域的形状 单连通 复连通  既 X又 Y型 一般区域

证明 y=2(r) 1.若区域D既是X-型 又是Y-型区域, D 即平行于坐标轴的直 x=v2(y) 线和L至多交于两点 y=p(r) o a D={(x,y)q1(x)sy≤2(x),≤x≤b D={(x,y)v1(y)sx≤v2(y)csy≤t

o x y D a b ( ) y  1 x ( ) y   2 x c d ( ) 2 x  y ( ) 1 x  y A B C E 证明: {( , ) ( ) ( ), } D  x y 1 x  y   2 x a  x  b {( , ) ( ) ( ), } D  x y  1 y  x  2 y c  y  d

00 d v2()00 dxdy= dy d x ax vi(y) ax IvOD B reva(),y)dye(,(),y)dy x=v2(y) Q(x,y)小y e(x, y)dy CBE CAE =nQ(x,y)+。0x)=(x,y 同理可证 aP dxdy=t P(x,y)dx O 两式相加得 00 aP ddy=Px+Q小y ax a D

o x y D c d ( ) 2 x  y ( ) 1 x  y A B C E    D dxdy x Q     d c d c Q( ( y), y)dy Q( ( y), y)dy  2  1     CBE CAE Q(x, y)dy Q(x, y)dy     CBE EAC Q(x, y)dy Q(x, y)dy   LQ(x, y)dy dx x Q dy y y d c     ( ) ( ) 2 1   同理可证       L D dxdy P x y dx y P ( , ) 两式相加得          L D dxdy Pdx Qdy y P x Q ( )

2.若区域D由一条按段光滑的闭曲线围成 D 用光滑曲线将D分成三个既是X-型又是Y-型 的区域D1,D2,D3 a0 aP 00 aP )dxdy )dxdy ax ay 2+2+n3a

L D D1 D2 D3                1 2 3 ( ) ( ) D D D D dxdy y P x Q dxdy y P x Q 用光滑曲线将D分成三个既是X 型又是Y 型 , , . 的区域 D1 D2 D3

一 D a0 aP a0 aP 00 aP )dxdy+ )dxdy+ lxd ax a Ox ay S, Pdr+Ody+5, Pdx+Ody+f Pdc+Ody =S Pdx+edy

L D L1 L2 L3 D1 D2 D3                      1 2 3 ( ) ( ) ( ) D D D dxdy y P x Q dxdy y P x Q dxdy y P x Q          L1 L2 L3 Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy    L Pdx Qdy

3.若区域不止由一条闭曲线所围成 添加直线段AB,CE G 则D的边界线由AB,L2,BA, L3 AFC,CE,L3,EC及CGA 构成 F 由2知,j∫ a0 aP A )dxdy ++:++n}(P+Q小) =(「+5.+5)Pdx+g) Px+Q小y

G F C E L3 L2 L1 A B , , , 则D的边界线由AB L2 BA AFC,CE, L3 , EC及CGA 构成.       D dxdy y P x Q ( )           AB L2 BA AFC CE {         L EC CGA} (Pdx Qdy) 3 由2知,    L Pdx Qdy        2 3 1 ( )( ) L L L Pdx Qdy