第二章随机变量及其分布 §21随机变量 §22离散型随机变量及其概率分布 §23随机变量的分布函数 §24连续型随机变量及其概率密度 §25随机变量的函数的分布 2/78
第二章 随机变量及其分布 §2.1 随机变量 §2.2 离散型随机变量及其概率分布 §2.3 随机变量的分布函数 §2.4 连续型随机变量及其概率密度 §2.5 随机变量的函数的分布 2/78
§21随机变量 ●对于错综复杂的随机现象,如信道噪声、随机信号、测量 误差等实际问题难以简单处理。为了更好的用数学方法来 分析随机现象地统计规律性,人们将随机试验的结果与实 数对应起来结果数量化),从而引入随机变量的概念 例1:将一枚硬币抛掷三次,观察正反面出现的情况,并考 虑每次试验当中正面出现的次数,样本空间是 S=HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT) 以X记三次投掷得到正面H的总数,那么对于样本空间S中的每一个 样本点e,X都有一个数与之对应
§2.1 随机变量 ⚫ 对于错综复杂的随机现象，如信道噪声、随机信号、测量 误差等实际问题难以简单处理。为了更好的用数学方法来 分析随机现象地统计规律性，人们将随机试验的结果与实 数对应起来(结果数量化)，从而引入随机变量的概念 ⚫ 例1：将一枚硬币抛掷三次，观察正反面出现的情况，并考 虑每次试验当中正面出现的次数，样本空间是 – S＝{HHH，HHT，HTH，HTT，THH，THT，TTH，TTT} – 以X记三次投掷得到正面H的总数，那么对于样本空间S中的每一个 样本点e，X都有一个数与之对应 3/
§21随机变量 例1:将一枚硬币抛掷三次,观察正反面出现的情况,并考 虑每次试验当中正面出现的次数,样本空间是 S=HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT) 以X记三次投掷得到正面H的总数,那么对于样本空间S中的每一个 样本点e,X都有一个数与之对应 X是定义在样本空间上的单值实值函数,定义域是样本空间,值域 为{0,1,2,3}.使用函数的符号可将X写成 3.e= hhh 2 .e= HHT HTH. THh X=X(e= .e= hTTThTTTh 0e=Ttt
§2.1 随机变量 ⚫ 例1：将一枚硬币抛掷三次，观察正反面出现的情况，并考 虑每次试验当中正面出现的次数，样本空间是 – S＝{HHH，HHT，HTH，HTT，THH，THT，TTH，TTT} – 以X记三次投掷得到正面H的总数，那么对于样本空间S中的每一个 样本点e，X都有一个数与之对应 – X是定义在样本空间上的单值实值函数，定义域是样本空间，值域 为{0,1,2,3}.使用函数的符号可将X写成 4/ = = = = = = e TTT e HTT THT TTH e HHT HTH THH e HHH X X e 0, 1, , , , 2, , , , 3, , ( )
§21随机变量 ●例2:随机试验:袋中装有编号分别为1,2,3的3只球,在 袋中任取一只,放回,然后再取一只球,记录他们的编号 样本点:是一个编号的数对:(i,j,i,j1,2,3 样本空间:S={e}={(i,),产1,2,3} 现在关心的是两个球的号码之和,记做X,则对于每一个样 本点e,X都有一个值与之对应 即从样本空间到实数集合上的一个映射X:S→R X是一个定义在样本空间S上的单值实值函数, 其定义域是样本空间;值域是实数集合{2,34,5,6} 因此X可写成X=Ⅺ(e)=X(1)=计+,i,j=1,2,3
§2.1 随机变量 ⚫ 例2：随机试验：袋中装有编号分别为1，2，3的3只球，在 袋中任取一只，放回，然后再取一只球，记录他们的编号 – 样本点：是一个编号的数对：(i，j)，i，j=1,2,3 – 样本空间：S={e}={(i，j)|i，j=1,2,3} – 现在关心的是两个球的号码之和，记做X，则对于每一个样 本点e，X都有一个值与之对应 – 即从样本空间到实数集合上的一个映射 X：S→R • X是一个定义在样本空间S上的单值实值函数， • 其定义域是样本空间；值域是实数集合{2,3,4,5,6} • 因此X可写成X=X(e)＝X((i,j))＝i+j，i，j＝1，2，3. 5/
§21随机变量 ●定义: 设随机试验的样本空间为S={e}X=X{e}是定 义在样本空间S上的实值单值函数。称X=X{e}为 随机变量
§2.1 随机变量 ⚫定义： – 设随机试验的样本空间为S＝{e}。X=X{e}是定 义在样本空间S上的实值单值函数。称X=X{e}为 随机变量 6/ S e1 e3 e2
§21随机变量 ●关于随机变量需要注意的几个方面 (1)X是一个单值实值函数,定义域是样本空间S,值域是 X的所有可能取值Rx 注意随机变量的值域不同于样本空间 (2)如果随机试验结果本身是一个数,则直接令X=X(e)=e, X是一个随机变量 如灯泡的寿命T,某学校学生的体重W,掷骰子的点数等等 随机变量的取值可以是有限的,可列的,或不可列的 (3)随机变量的取值随试验结果而定,是样本点的函数, 因此随机变量X(e)的取值是随机出现的,有一定的概率
§2.1 随机变量 ⚫ 关于随机变量需要注意的几个方面 (1) X是一个单值实值函数，定义域是样本空间S，值域是 X的所有可能取值RX。 注意随机变量的值域不同于样本空间 (2)如果随机试验结果本身是一个数，则直接令X＝X(e)=e， X是一个随机变量 • 如灯泡的寿命T，某学校学生的体重W，掷骰子的点数等等 • 随机变量的取值可以是有限的，可列的，或不可列的 (3) 随机变量的取值随试验结果而定，是样本点的函数， 因此随机变量X(e)的取值是随机出现的，有一定的概率 7/
§21随机变量 ●随机事件的描述 根据随机变量X的前述映射关系,可用X的取值集合来描述随机事件 ●例如 例1中X的取值为2,记做X=2},对应的样本点集合为 A={HHT,HTH,THH这是一个随机事件 当且仅当A发生时有X=2},我们称概率P(A为{X=2}的概率,即 PX=2}=P(A)=38 ●当然关心的X取值也可能有多个,用关于X的表达式来表示 如{X≤1}表示随机事件B={TTT,TTH,THT,HT} P{X≤1}=P(B)=48 一般的,若L是一个实数集合,将X在L上取值写成{X∈L}, 则{X∈L}表示事件B={eX(e)∈L},此时有PX∈L}=P(B)
§2.1 随机变量 ⚫ 随机事件的描述 – 根据随机变量X的前述映射关系，可用X的取值集合来描述随机事件 ⚫ 例如 – 例1中X的取值为2，记做{X=2}，对应的样本点集合为 A={HHT,HTH,THH}这是一个随机事件 – 当且仅当A发生时有{X=2}，我们称概率P(A)为{X=2}的概率，即 P{X=2}=P(A)＝3/8 ⚫ 当然关心的X取值也可能有多个，用关于X的表达式来表示 – 如{X1}表示随机事件B＝{TTT,TTH,THT,HTT} – P{ X1}=P(B)＝4/8 ⚫ 一般的，若L是一个实数集合，将X在L上取值写成{XL}， 则{XL}表示事件B={e| X(e)L },此时有P{ XL }=P(B) 8/
S22离散型随机变量及其概率分布多 ●本节学习基于随机变量来描述随机现象的 般问题 ●随机变量的类别:设F是分布函数 离散型,F(x)的图象是一个水平的阶梯函数; 离散型随机变量X:它全部可能取到的不相同的值是 有限个或可列无限多个,称为离散型随机变量 连续型,F(x)的图象是连续函数; 奇异型,F(x)的图象有许多不连续点并非水平阶 梯函数,而且在这些点上出现函数值的跳跃, 般称为混合型随机变量,离散和连续取值都有 9
§2.2 离散型随机变量及其概率分布 ⚫本节学习基于随机变量来描述随机现象的一 般问题 ⚫随机变量的类别：设F(x)是分布函数 – 离散型,F(x)的图象是一个水平的阶梯函数; • 离散型随机变量X： 它全部可能取到的不相同的值是 有限个或可列无限多个，称为离散型随机变量 – 连续型,F(x)的图象是连续函数; – 奇异型,F(x)的图象有许多不连续点,并非水平阶 梯函数，而且在这些点上出现函数值的跳跃，一 般称为混合型随机变量，离散和连续取值都有 9/
§22离散型随机变量及其概率分布 ●离散型随机变量的例子: 将一枚硬币抛掷三次,观察出现正面的次数: 随机变量的全部可能取值仅有4个:0,1,2,3 某电话交换台一分钟内收到的呼叫次数: 可列无限多个(理想状态下) 某城市120急救电话合一昼夜收到的呼叫次数 可列无限多个(理想状态下) 而灯泡的寿命个T所有可能取值充满一个区间,无法按一 定次序一一列出,非离散型随机变量
§2.2 离散型随机变量及其概率分布 ⚫ 离散型随机变量的例子： – 将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数： • 随机变量的全部可能取值仅有4个：0，1，2，3 – 某电话交换台一分钟内收到的呼叫次数： • 可列无限多个（理想状态下） – 某城市120急救电话台一昼夜收到的呼叫次数 • 可列无限多个（理想状态下） – 而灯泡的寿命T所有可能取值充满一个区间，无法按一 定次序一一列出，非离散型随机变量 10/
S22离散型随机变量及其概率分布多 ●掌握离散随机变量X的统计规律,只需知道X的两个问题 (1)X所有可能的取值,我们可以通过随机试验的样本空间S来得到 (2)每一个可能取值的概率,它们构成分布律的概念 在后面我们会进一步学习X的数字特征等概念 分布律: 设离散型随机变量X的所有可能取值为x(k=1,2,),X取各个可能 值的概率,即事件{X=x的概率为 P{X=xk}=k,k=1,2, 由概率的定义,Pk满足如下两个条件: (1)非负性:p≥0;(2)规范性:∑P=1 k=1 则称PX=x6}=,k=1,2,为离散型随机变量X的分布律
§2.2 离散型随机变量及其概率分布 ⚫ 掌握离散随机变量X的统计规律，只需知道X的两个问题 – (1) X所有可能的取值，我们可以通过随机试验的样本空间S来得到 – (2) 每一个可能取值的概率，它们构成分布律的概念 – 在后面我们会进一步学习X的数字特征等概念 ⚫ 分布律： – 设离散型随机变量X的所有可能取值为xk (k=1,2,…)，X取各个可能 值的概率，即事件{X=xk }的概率为 – P{X=xk }=pk，k=1, 2, … – 由概率的定义，pk满足如下两个条件： – (1) 非负性：pk0; (2) 规范性： ＝1 – 则称P{X=xk }=pk，k=1,2,…为离散型随机变量X的分布律 11/ k=1 pk