中学我术犬荸 第六章群论 1958
第六章 群论
中学我术犬荸 University of Science and Technoiogy of China 群论简介 群”是中最重要、最基本的代数系统 群”在抽象代数中具有基本的重要地位 ■许多代数结构,包括环、域和向量空间等可以看作是在群 的基础上添加新的运算和公理而形成的。 群”的概念在数学的许多分支都有出现,而且群 论的硏究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。 群论的重要性还体现在物理学和化学的硏究中 许多不同的物理结构,如晶体结构和氢原子结构可以用群 论方法来进行建模
群论简介 ◼ “群”是中最重要、最基本的代数系统； ◼ “群” 在抽象代数中具有基本的重要地位； ◼ 许多代数结构，包括环、域和向量空间等可以看作是在群 的基础上添加新的运算和公理而形成的。 ◼ “群”的概念在数学的许多分支都有出现，而且群 论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。 ◼ 群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中； ◼ 许多不同的物理结构，如晶体结构和氢原子结构可以用群 论方法来进行建模
中学我术犬荸 University of Science and Technoiogy of China 群论产生的历史背景 方程的根式解法发展过程 元二次方程 21040 古巴比伦数学和印度人能够用根式求解; 三次数字方程 古希腊人和古东方人:能求解某些特殊的三次数字方程,但没有得 到三次方程的一般解法。 文艺复兴的极盛期(即16世纪初)由意大利人解决。 四次方程:意大利人费尔拉里求解出; 五次和五次以上方程 以后的几个世纪里,一般公式解法却一直没有得到结果
群论产生的历史背景 ◼ 方程的根式解法发展过程 ◼ 一元二次方程 ◼ 古巴比伦数学和印度人能够用根式求解； ◼ 三次数字方程 ◼ 古希腊人和古东方人：能求解某些特殊的三次数字方程，但没有得 到三次方程的一般解法。 ◼ 文艺复兴的极盛期（即16世纪初）由意大利人解决。 ◼ 四次方程：意大利人费尔拉里求解出； ◼ 五次和五次以上方程 ◼ 以后的几个世纪里，一般公式解法却一直没有得到结果。 3
中学我术犬荸 University of Science and Technoiogy of China 1770年前后,法国数学家拉格朗日转变代数的思维 方法提出方程根的排列与置换理论是解代数方程的 关键所在,他的工作有力地促进了代数方程论的进 步。 但是他的这种方法却不能对一般五次方程作根式解 于是他怀疑五次方程无根式解。并且他在寻求一般n 次方程的代数解法时也遭失败,从而认识到一般的 四次以上代数方程不可能有根式解。 他的这种思维方法和研究根的置换方法给后人以启 示。相继鲁菲尼和高斯都在这方面进行了研究
◼ 1770年前后，法国数学家拉格朗日转变代数的思维 方法提出方程根的排列与置换理论是解代数方程的 关键所在，他的工作有力地促进了代数方程论的进 步。 ◼ 但是他的这种方法却不能对一般五次方程作根式解， 于是他怀疑五次方程无根式解。并且他在寻求一般n 次方程的代数解法时也遭失败，从而认识到一般的 四次以上代数方程不可能有根式解。 ◼ 他的这种思维方法和研究根的置换方法给后人以启 示。相继鲁菲尼和高斯都在这方面进行了研究. 4
中学我术犬荸 University of Science and Technoiogy of China 1824年到1826年,挪威数学家阿贝尔提出阿贝尔定理:一般 高于四次的方程不可能代数求解。 ■在高斯分圆方程可解性理论的基础上,他解决了任意次的一类特殊方 程的可解性问题,在硏究中已经涉及到了群的一些思想和特殊结果 只是阿尔没能意识到,也没有明确地构造方程根的置换集合。 阿贝尔解决了构造任意次数的代数可解的方程的问题,却没能解决判 定已知方程是否可用根式求解的问题。 法国数学家伽罗瓦在阿贝尔工作基础上,提出了群的概念, 用群的理论彻底解决了根式求解代数方程的问题,而且由此 发展了一整套关于群和域的理论,称为伽罗瓦理论。 ■这个理论可以推导出五次以上的一般代数方程根式不可解以及用圆规、 直尺(无刻度的尺)三等分任意角和作倍立方体不可能等结论。 个方程根式可解当且仅当其伽罗瓦群是可解群
◼ 1824年到1826年，挪威数学家阿贝尔提出阿贝尔定理：一般 高于四次的方程不可能代数求解。 ◼ 在高斯分圆方程可解性理论的基础上，他解决了任意次的一类特殊方 程的可解性问题，在研究中已经涉及到了群的一些思想和特殊结果， 只是阿贝尔没能意识到，也没有明确地构造方程根的置换集合。 ◼ 阿贝尔解决了构造任意次数的代数可解的方程的问题，却没能解决判 定已知方程是否可用根式求解的问题。 ◼ 法国数学家伽罗瓦在阿贝尔工作基础上，提出了群的概念， 用群的理论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此 发展了一整套关于群和域的理论，称为伽罗瓦理论。 ◼ 这个理论可以推导出五次以上的一般代数方程根式不可解以及用圆规、 直尺(无刻度的尺)三等分任意角和作倍立方体不可能等结论。 5 一个方程根式可解当且仅当其伽罗瓦群是可解群
中学我术犬荸 University of Science and Technoiogy of China 群论″最早考虑的是五次以上方程解法的问题 但是今天它的应用场合已被大大拓展,最大用途是 关于“对称性”的研究,所有具有对称性的东西, 群论都能派上用场。 只要在发生了变换之后有什么东西还维持不变,就 是对称的。 几何体当然可以是对称的:一个圆左右翻转后还是圆,旋 转180度后还是圆,所以它在这两种变换下是对称的。 n非几何体的抽象概念:比如〔xyz)=x^2+y^2+z^2这个函数 无论怎么调换x、y、z的位置,都是不变的;或者sin(t), 用t2π代替t,也是不变的。 6
◼ “群论”最早考虑的是五次以上方程解法的问题， 但是今天它的应用场合已被大大拓展，最大用途是 关于“对称性”的研究，所有具有对称性的东西， 群论都能派上用场。 ◼ 只要在发生了变换之后有什么东西还维持不变，就 是对称的。 ◼ 几何体当然可以是对称的：一个圆左右翻转后还是圆，旋 转180度后还是圆，所以它在这两种变换下是对称的。 ◼ 非几何体的抽象概念：比如f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2这个函数， 无论怎么调换x、y、z的位置，都是不变的；或者sin(t)， 用t+2π代替t，也是不变的。 6
中学我术犬荸 University of Science and Technoiogy of China 对称性最为神奇的一点:和物理世界中的守恒——对应。 ■物理学定律是不因时间的流逝而改变的,换言之它在时间变换下对称 而这个对称性可以直接推导出物理学中最重要的定律之一:能量守恒 ■物理学定律又不随着空间的位置而改变,这个对称性又能推出另一条 同样关键的定律:动量守恒。 二十世纪最伟大的数学家之一艾米诺特( Emmy Noether)女士发现 每一个物理上的守恒量必然伴随着数学上的对称性。 现代粒子物理学是完全依赖于群论而存在的。种类繁多 的新粒子之所以能够被整齐归入标准模型,都是因为对 称性研究的功劳;事实上,相当多的新粒子是先被群论 预测出来,再被实验发现的。 化学和生物学也是离不开群论的——分子和晶体里有太 多的对称性了,没有群论就没法处理它们的结构和行为。 7
◼ 对称性最为神奇的一点：和物理世界中的守恒一一对应。 ◼ 物理学定律是不因时间的流逝而改变的，换言之它在时间变换下对称； 而这个对称性可以直接推导出物理学中最重要的定律之一：能量守恒； ◼ 物理学定律又不随着空间的位置而改变，这个对称性又能推出另一条 同样关键的定律：动量守恒。 ◼ 二十世纪最伟大的数学家之一艾米·诺特（Emmy Noether）女士发现： 每一个物理上的守恒量必然伴随着数学上的对称性。 7 • 现代粒子物理学是完全依赖于群论而存在的。种类繁多 的新粒子之所以能够被整齐归入标准模型，都是因为对 称性研究的功劳；事实上，相当多的新粒子是先被群论 预测出来，再被实验发现的。 • 化学和生物学也是离不开群论的——分子和晶体里有太 多的对称性了，没有群论就没法处理它们的结构和行为
中学我术犬荸 University of Science and Technoiogy of China 、半群与单元半群 半群 定义6.1: 设有一个代数系(S)其中“。”是元运算 且该运算符合结合律则称此系统为半群。如果 个半群满足交换律,则称为可换半群或者交换半群。 个条件: 代数系统+二元运算+结合律 8
一、半群与单元半群 ◼ 1、半群 ◼ 定义6.1： 设有一个代数系统( ) S，，其中“ ”是二元运算， 且该运算符合结合律，则称此系统为半群。如果一 个半群满足交换律，则称为可换半群或者交换半群。 ◼ 三个条件： ◼ 代数系统＋二元运算＋结合律； 8
中学我术犬荸 University of Science and Technoiogy of China 例 (l,*),为整数集合,a*b=a+b-mb 证明(,*)为半群。 n跟包含排斥原理的形式很相似 证明: (1)首先证明(I,*)为代数系统。 :非空集合,“*”:二元运算并且封闭, 因此,(Ⅰ,*)为代数系统
1 ,* , * I I I 证明： （）首先证明（ ）为代数系统。 ：非空集合，“ ”：二元运算并且封闭， 因此，（ ）为代数系统。 ( , ), a , ( , ) I I b a b ab I = + − 为整数集合， 证明 为半群。 ◼ 例： ◼ 跟包含排斥原理的形式很相似。 9
中学我术犬荸 (2)验证结合律 Va.b,C∈l, (a*b)c=(a+b-ab)*c =a+b-ab+c-(a+b-ab)c =atb+c-ab-ac-bc+abc a*(6*c)=a*(6+C-bc) a+b+c-bc-a(b+c-bc) a+6+c-ab-ac-bC+abc 即:(a*b)*C=a*(b*C) 所以(1,*)为半群。 另外,可验证*满足交换律,所以(1,*)为可换半群
2 a, , ( * )* ( )* ( ) *( * ) *( ) ( ) ( * )* *( * ) ( , ) * ( , ) b c I a b c a b ab c a b ab c a b ab c a b c ab ac bc abc a b c a b c bc a b c bc a b c bc a b c ab ac bc abc a b c a b c I I = + − = + − + − + − = + + − − − + = + − = + + − − + − = + + − − − + = （ ）验证结合律 ， 即： 所以 为半群。 另外，可验证 满足交换律，所以 为可换半群。 10
