第二爷 第十二章 常数项缎数的审做法 正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 四、绝对收敛级数的性质
二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 第二节 一、正项级数及其审敛法 常数项级数的审敛法 第十二章 *四、绝对收敛级数的性质
正项级数及其审敛法 若un≥0,则称∑n为正项级数 定理正项级数∑收敛一部分和序列S n (n=1,2,)有界 证:“—→”若∑vn收敛,则{Sn}收敛,故有界 n=1 ln≥0,∴部分和数列{Sn}单调递增, 又已知{Sn}有界,故{Sn}收敛,从而∑n也收敛 n
一、正项级数及其审敛法 若 0, un n=1 un 定理 1. 正项级数 收敛 部分和序列 有界 . 若 收敛 , ∴部分和数列 又已知 有界, 故 从而 故有界. 则称 为正项级数 . 单调递增, 收敛 , 也收敛. 证: “ ” “
例设a>0,求证级数收敛 证明:∵an>0,∴Sn个,n=>0 n n < n-1h n-1Sn=2,3,… L+W2+…+ 2 < n un的部分和Sn有界,Σun收敛
例 2 1 0, . n n n n a S a = 设 求证级数 收敛 证明： 0. 2 0, , = n S n a n u n S n a , 2,3, 1 1 1 1 1 2 1 − = − = − − − − − = n n S n S n S n S n S n S n S n S n S n u n u + u ++ u 2 3 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) S S S S S S n n − − + − + + − 1 1 1 1 1 . S S a n = − . 1 , 的部分和 *有 界 收 敛 = n n u n S n u
定理2(比较审敛法)设∑∑v是两个正项级数 且存在N∈N+,对切n>N,有ln≤kvn(常数k>0) (1)若强级数∑收敛,则弱级数∑也收敛 n=1 (2)若弱级数∑v发散,则强级数∑v也发散 7-1 n=1 证:因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨 设对一切n∈N+,都有un≤kvn, 令Sn和an分别表示弱级数和强级数的部分和则有
都有 定理2 (比较审敛法) 设 且存在 对一切 有 (1) 若强级数 则弱级数 (2) 若弱级数 则强级数 证: 设对一切 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 . 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有 是两个正项级数, (常数 k > 0 ), 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
Sn≤k (1)若强级数∑v收敛则有a=lmon 因此对一切n∈N,有Sn≤ko 由定理1可知弱级数∑vn也收敛 n=1 (2)若弱级数∑n发散则有 I lim s= n→00 因此limσn=∞,这说明强级数∑vn也发散 n-00 n
(1) 若强级数 则有 因此对一切 有 由定理 1 可知, (2) 若弱级数 则有 因此 这说明强级数 也发散 . 也收敛 . 发散, 收敛, 弱级数
例1.讨论p级数1+++…++… (常数p>0) 2P 3P P 的敛散性 解:1)若p≤1,因为对一切n∈N, 而调和级数∑发散,由比较审敛法可知p级数∑1 n- 12 发散
例1. 讨论 p 级数 + p + p ++ p + n 1 3 1 2 1 1 (常数 p > 0) 的敛散性. 解: 1) 若 p 1, 因为对一切 而调和级数 =1 1 n n 由比较审敛法可知 p 级数 n 1 发散 . 发散
2)若P>1因为当n-1sx≤n时 故 P yp dx p-IL(n 11 2P- 3P (n+1) 1n→∞ k(k+1) (n+1 故强级数收敛,由比较审敛法知p级数收敛
p 1, 因为当 , 1 1 p p n x 故 − = n n p p x n 1 n d 1 1 − n n p x 1 x d 1 − − − = −1 −1 1 ( 1) 1 1 1 p p p n n 考虑强级数 − − − − = 1 1 2 1 ( 1) 1 p p n n n 的部分和 n + − = − − = 1 1 1 ( 1) 1 1 p p n k k k n → 故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 . 时, 1 ( 1) 1 1 − + = − p n 1 2) 若 + + + − + − − −1 −1 −1 −1 −1 ( 1) 1 1 3 1 2 1 2 1 1 p p p p p n n
例2证明级数∑ n-lVn(n+1) 发散 证:因为 (n=1,2 n(n+1)√( h+n)2 n+1 而级数 发散 n+1 根据比较审敛法可知,所给级数发散
证明级数 发散 . 证: 因为 2 ( 1) 1 ( 1) 1 + n n + n 而级数 = = 2 1 k k 发散 根据比较审敛法可知, 所给级数发散 . 例2
定理3.(比较审敛法的极限形式)设两正项级数 ∑ln∑vn满足 lim un=l,则有 n→00 (1)当00,存在N∈N,当n>N时 1<8(l≠∞)
定理3. (比较审敛法的极限形式) lim l, v u n n n = → 则有 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 证: 据极限定义, 设两正项级数 满足 (1) 当 0 < l <∞ 时
(-6)Vn≤ln≤(1+E)vn(n>N) 1)当0N)由定理2知 若∑n收敛,则∑n也收敛 1= (3)当1=∞时,存在N∈N+,当n>N时,>1,即 n 由定理可知若∑v发散,则∑n也发散
n n n (l − )v u (l + )v 由定理 2 可知 n=1 n v 同时收敛或同时发散 ; (n N ) (3) 当l = ∞时, 即 n n u v 由定理2可知, 若 n=1 n v 发散 , (1) 当0 < l <∞时, (2) 当l = 0时, 由定理2 知 n=1 n 若 v 收敛