§2含参量反常积分 与函数项级数相同,含参量反常积分的重 要内容是判别含参量反常积分的一致收敛性 在相应的一致收敛的条件下,含参量反常积 分具有连续性,可微性,可积性.含参量反常 积分的一致收敛性的判别法与函数项级数的 致收敛性的判别法类似 前页)看后页)(级回
前页 后页 返回 §2 含参量反常积分 与函数项级数相同, 含参量反常积分的重 要内容是判别含参量反常积分的一致收敛性. 在相应的一致收敛的条件下, 含参量反常积 分具有连续性, 可微性, 可积性. 含参量反常 积分的一致收敛性的判别法与函数项级数的 一致收敛性的判别法类似. 返回
合参量反常积分的一致收敛性 、含参量反常积分一致收敛性的判别 含参量反常积分的性质 含参量无界函数的反常积分 前页)(后页)(返回
前页 后页 返回 四、含参量无界函数的反常积分 三、含参量反常积分的性质 二、含参量反常积分一致收敛性的判别 一、含参量反常积分的一致收敛性
一、含参量反常积分一致收敛性 设函数∫(x,y)定义在无界区域R=J×c,+∞)上, 其中J是任意区间若Vx∈J,反常积分 I(x)=f(x, y)dy 都收敛,则I(x)是J上的函数 称(1)为定义在J上的含参量x的无穷限反常积分, 或称含参量反常积分. 前页)后页)返回
前页 后页 返回 一．含参量反常积分一致收敛性 设函数 f x y ( , ) 定义在无界区域 R J c = + [ , ) 上, 其中 J 是任意区间. 若 x J , 反常积分 ( ) ( , )d (1) c I x f x y y + = 都收敛，则 I x J ( ) 是 上的函数. 称(1)为定义在 J 上的含参量 x 的无穷限反常积分, 或称含参量反常积分
定义1若含参量反常积分(1)与函数/(x)对E>0, 彐N>c,使得当M>N时,对一切x∈J,都有 M f(x, y)dy-I(x)<e M f(x, y)dy/6, 则称含参量反常积分(1)在J上一致收敛于I(x),或简 单地说含参量积分(1在J上一致收敛 前页)后页)返回
前页 后页 返回 定义1 若含参量反常积分(1)与函数 I(x)对 0 , N c, 使得当 M N 时, 对一切 x J , 都有 ( , )d ( ) , M c f x y y I x − 即 ( , )d , M f x y y + 则称含参量反常积分(1)在 J 上一致收敛于I(x), 或简 单地说含参量积分(1)在 J 上一致收敛
注1由定义,I(x)=。f(x,y)在J上一致收敛的 C 充要条件是 P+0 m(4)=sup‖f(x,y)y}→0(4→+ x∈J 注2由定义,(x)=f(x,y在J上不一致收敛 的充要条件是 日60>0,M>c,丑A>M及x0∈J, ∫f(x,)d6n 前页)后页)返回
前页 后页 返回 ( ) ( , )d c I x f x y y + = 注1 由定义, 在 J 上一致收敛的 充要条件是 ( ) sup ( , )d 0 ( ). A x J A f x y y A + = → → + ( ) ( , )d c I x f x y y + = 注2 由定义, 在 J 上不一致收敛 的充要条件是 0 0 0, , , M c A M x J 及 0 0 ( , )d . A f x y y +
例1讨论含参量反常积分 +0 xedy,x∈(0,+∞) 的一致收敛性 解若x>0,令Ⅱ=x,则 e e“dn rA 于是 7/(4)=Sup e x∈[0,+∞) 前页)后页)返回
前页 后页 返回 例1 讨论含参量反常积分 0 e d , (0, ) xy x y x + − + 的一致收敛性. 解 若 x u xy = 0, , 令 则 e d e d e , xy u xA A xA x y u + + − − − = = 于是 [0, ) ( ) sup e d 1, xy A x A x y + − + = =
因此,含参量积分在(0,+∞)上非一致收敛 而对于任何正数,有 7(4)=sup儿l. xe dyl}=e1→0(A>+∞), x∈6,+∞) 因此,该含参量积分在[,+)上一致收敛 前页)后页)返回
前页 后页 返回 因此, 含参量积分在 (0, ) + 上非一致收敛. [ , ) ( ) sup e d e 0 ( ), xy A A x A x y A + − − + = = → → + 因此, 该含参量积分在 [ , ) + 上一致收敛. 而对于任何正数 , 有
二、含参量反常积分一致收敛性的判别 定理197(致收敛的柯西准则)含参量反常积分(1) 在[a,b上一致收敛的充要条件是:VE>0,丑N>C, 使得当A,A2>N时,对一切的x∈a,b,都有 A2 f(x, y)dy0,3N>C,VA>N及x∈J,有 前页)后页)返回
前页 后页 返回 二．含参量反常积分一致收敛性的判别 定理19.7 (一致收敛的柯西准则)含参量反常积分(1) 在 [ , ] a b 上一致收敛的充要条件是: 0, , N c 1 2 使得当 A A N , 时 x a b [ , ], , 对一切的 都有 2 1 ( , )d . (3) A A f x y y 证 必要性 ( ) ( , )d c I x f x y y + = 若 在 J 上一致收敛, 则 0, , , N c A N x J 及 有
f(x, y)dy-l(x) 2 因此,VA1,A2>N A A1 f(x, y)dx=l f(x, y)dx-f(x, y)dx <f(x, y)dx-I(x)+f(x, y)dx-I(x <-十 前页)后页)返回
前页 后页 返回 ( , )d ( ) , 2 A c f x y y I x − 因此, 1 2 A A N , , 2 1 2 1 ( , )d ( , )d ( , )d A A A A c c f x y x f x y x f x y x = − 1 1 ( , )d ( ) ( , )d ( ) A A c c − + − f x y x I x f x y x I x . 2 2 + =
充分性若∨E>0,N>c,MM=A,A2>N, A f(x, y)dy<8. 则令A1→)+∞,得f(x,y)dy|≤ 这就证明了(x)=f(x,y)小在J上一致收敛 例2证明含参量反常积分 too sin y 前页)后页)返回
前页 后页 返回 2 1 ( , )d . A A f x y y 则令 2 , ( , )d . M A f x y y 得 + → + ( ) ( , )d c I x f x y y + = 这就证明了 在 J 上一致收敛. 例2 证明含参量反常积分 0 sin d (4) xy y y + 充分性 若 1 2 = 0, , , , N c M A A N