第四节微积分基本公式 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的 联系 S(t1) s(t s(t 设位置函数为(t),速度函数为(),在时间 间隔[1,t2呐物体经过的路程是速度函数 v(t)在[t1,12上的定积分
第四节 微积分基本公式 • 一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的 联系 0 ( ) 1 s t ( ) 2 s t s(t) 在 上的定积分 间隔 内物体经过的路程是速度函数 设位置函数为 速度函数为 在时间 ( ) [ , ] [ , ] ( ), ( ), 1 2 1 2 v t t t t t s t v t 2 1 ( ) t t v t dt
另一方面这段路程又是位置函数s(1)在区 间t1t2l上的增量 S(2)-S(1) 所以[v)dt=(2)-(1) 注意到s(t)=v(t),即位置函数()是速度 函数v(t)的原函数 猜想:设F(x)是f(x)在区间a,b上的原函 数,则 f(x)dx= F(6)-F(a
间 上的增量 另一方面 这段路程又是位置函数 在区 [ , ] , ( ) 1 2 t t s t ( ) ( ) 2 1 s t − s t ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 v t dt s t s t t t = − 所以 函数 的原函数。 注意到 ，即位置函数 是速度 ( ) '( ) ( ) ( ) v t s t = v t s t 数 则 猜想：设 是 在区间 上的原函 , F(x) f (x) [a,b] = − b a f (x)dx F(b) F(a)
二、积分上限函数及其导数 设f(x)在{a,b上连续,x∈[a,b]考察f(x)在 [a,x]上的定积分 ()t 对于[a,b让上每一个x,都得到定积分的一个 对应值.,所以广(是定义在a上的 个函数,记作 p(x)=|f()t(a≤x≤b) 称为积分上限的函数
二、积分上限函数及其导数 上的定积分 设 在 上连续， 考察 在 [ , ] ( ) [ , ] [ , ], ( ) a x f x a b x a b f x x a f (t)dt 个函数，记作 对应值，所以 是定义在 上的一 对于 上每一个 ，都得到定积分的一个 ( ) [ , ] [ , ] f t dt a b a b x x a (x) f (t)dt (a x b) x a = 称为积分上限的函数
定理1如果函数f(x)在区间a,b上连续,则积分上 限的函数 c(x)=f() 在an,b上具有导数,且 (以sdr f(tdt dx f(x) (a≤x≤b) 即:积分对其上限的导数等于被积函数在其上限 处的值
限的函数 定理 如果函数 在区间 上连续，则积分上 1 f (x) [a,b] = x a (x) f (t)dt 在[a,b]上具有导数，且 ( ) ( ) '( ) ( ) f x a x b f t dt dx d x x a = = 处的值。 即：积分对其上限的导数等于被积函数在其上限
证设x∈(a,bΔx是增量,且x+Aw∈(an,b),则 Φ(x+△x) 于是 △Φ=Φ(x+△x)-d(x) y=f(x) f(dt-Cf()dt x+△x s x+Ar bx =f()(x+△x)-x](积分中值定理 f(s)mx (在x与x+Ax之间
证 设x(a,b),x是增量，且x + x(a,b),则 + + = x x a (x x) f (t)dt 于是 = (x + x) − (x) + = − x x a x a f (t)dt f (t)dt = + − x + a x a x x x f (t)dt f (t)dt f (t)dt + = x x x f (t)dt = f ( )[(x + x) − x] = f ( )x （积分中值定理） （在x与x + x之间） (x) y = f (x) y 0 a x x + x b x f ( )
所以2=0(x+A)-(x)=f() x △x 因f(x)在a,b上连续,且在x与x+Ax之间 当Ax→>O时,→x,于是 △ΦΦ(x+△x)-Φ(x) lim f(s)=Im f(s=f(x) △x→>0△x △ →x △d 而i Φ(x) 0△x 所以Φ(x)=f(x)(a0,可证Φ+(a)=f(a) 若x=b,取Ax<0,可证Φ(b)=f(b)
所以 ( ) ( ) ( ) f x x x x x = + − = 因f (x)在[a,b]上连续，且在x与x + x之间, 当x →0时, → x, 于是lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 f x x x x x→ x x→ = + − = lim f ( ) f (x) x = = → lim '( ) 0 x x x = → 而 所以 '(x) = f (x) (a x b) , 0, ( ) ( ); ' 若x = a 取x 可证+ a = f a , 0, ( ) ( ); ' 若x = b 取x 可证− b = f b
故有①)(x)=f(x)(a≤x≤b 定理2如果函数f(x)在区间[a,b上连续,则函数 C(x)=f(dt 就是f(x)在a,b]上的一个原函数 这个定理一方面证明了连续函数的原函数的存 在性:任何连续囪数都存在原囪数。另一方面揭示 了定积分与原函数(不定积分)之间的联系,即可 通过原函数来计算定积分
故有 '(x) = f (x) (a x b) 就是 在 上的一个原函数。 定理 如果函数 在区间 上连续，则函数 ( ) [ , ] ( ) ( ) 2 ( ) [ , ] f x a b x f t dt f x a b x a = 通过原函数来计算定积分。 了定积分与原函数（不定积分）之间的联系，即可 在性： 连续 原 。另一方面揭示 这个定理一方面证明了连续函数的原函数的存 任何 函数都存在 函数
牛顿一莱布尼茨公式(微积分学基本定理) 定理3如果函数f(x)在区间[a,b上连续,F(x)是 f(x)的任一原函数,则 f(x(dx= F(b-F(a 证因F(x)是f(x)的一个原函数,又 dp(x)= f(t)dt 也是(x)的原函数,所以 F(x)=Φ(x)+C(a≤x≤ f(tdt+C
三、牛顿 −莱布尼茨公式（微积分学基本定理） 的任一原函数，则 定理 如果函数 在区间 上连续， 是 ( ) 3 ( ) [ , ] ( ) f x f x a b F x = − b a f (x(dx F(b) F(a) 证 因F(x)是f (x)的一个原函数，又 = x a (x) f (t)dt 所以 F(x) = (x) + C (a x b) 也是f (x)的原函数，f t dt C x a = + ( )
F(a)=p(a)+C=f(t)dt+C=C 于是F(b)=f(+C=f(t+F(a) a b 即有f()t=F(b)-F(a C 公式 Jaf(x)x= F(b)-F(a 叫做牛顿-莱布尼茨公式,也叫微积分基本公式 公式可简记为 f(x)dx=F(x)
F a a C f t dt C C a a = + = + = ( ) ( ) ( ) F(b) f (t)dt C f (t)dt F(a) b a b a = + = + 于是 f (t)dt F(b) F(a) b a = − 即有 公式 = − b a f (x)dx F(b) F(a) 叫做牛顿 −莱布尼茨公式，也叫微积分基本公式。 公式可简记为 b a b a f x dx F x ( ) = [ ( )]
例求[x2x 解因_x3是x2的一个原函数,所以 x dx x 0 3 例2求 2 11+x 解因 arctan:是1 的一个原函数,所以 x dx arctan x =acan√3- arctan(-1 11+x 4 7 12
1 0 2 例1 求 x dx 解 1 0 2 x dx 1 0 3 3 1 = x 3 1 = − + 3 1 2 1 2 x dx 例 求 解 3 1 3 1 2 arctan 1 − − = + x x dx = arctan 3 − arctan( −1) ) 4 ( 3 = − − 12 7 = , 3 因 1 x 3 是x 2 的一个原函数 所以 , 1 1 arctan 因 是 2 的一个原函数 x x + 所以