《高等数学》课程PPT教学课件（知识题解）函数的求导法则

第二节函数的求导法则 、导数的四则运算法则 二、反函数的导数法则 三、复合函数的导数法则 ●四、初等函数的求导法则

第二节 函数的求导法则 一、导数的四则运算法则 二、反函数的导数法则 三、复合函数的导数法则 四、初等函数的求导法则

导数的四则运算法则 定理如果函数u(x),v(x)在点x处可导则它 们的和、差、积、商分母不为零在点x处也 可导,并且 (1)|u(x)±v(x)=u(x)±v(x); (2)|u(x):v(x=l(x)v(x)+ul(x)(x) (x)-l(x)v(x)-(x)(x) (v(x)≠0

一、导数的四则运算法则 定理 可 导 并 且 们的和、差、积、商 分母不为零 在 点 处 也 如果函数 在 点 处可导 则 它 , ( ) ( ), ( ) , x u x v x x 2 (1) [ ( ) ( )] ( ) ( ); (2) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3) [ ] ( ( ) 0). ( ) ( ) u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u x u x v x u x v x v x v x v x  =      = +      −  = 

证(1)、(2)略 证(3)设∫(x) u(r) ,(v(x)≠0), v f∫"(x)=li f(x+h-f(r) h→>0 u(x+h)u(x) =lim V(r+h) h lin u(x+h)v(x)-u(x)v(x+h) h→>0 v(x+h)v(e)h

证(3) , ( ( ) 0), ( ) ( ) ( ) = v x  v x u x 设 f x h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + −  = → v x h v x h u x h v x u x v x h h ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 + + − + = → h v x u x v x h u x h h ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 − + + = → 证(1)、(2)略

=lim lu(r+h)-u(x)]v(x)-u(x)[v(+h)-v(x) v(+ hv(x)h u(x+h)-(x) v(x)-(x) v(x+h-v(x) =im h→0 v(x+hv(r) u(x)v(x)-u(xv(r) vr ∴∫(x)在x处可导

v x h v x h u x h u x v x u x v x h v x h ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )[ ( ) ( )] lim 0 + + − − + − = → ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 v x h v x h v x h v x v x u x h u x h u x h + + −  −  + − = → 2 [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) v x u x v x − u x v x =  f (x)在x处可导

推论 (1)C∑f(x=∑fx) (2)[Cf(x=C(x); (3)ⅢIf(x)=f(x)/2(x)…fn(x) l: +…+f1(x)f2(x)…fm(x) =∑Ⅱf(x)/k(x) i=1k=1 k≠i

推论 (1) [ ( )] ( ); 1 1   = =  =  n i i n i f i x f x (2) [Cf (x)] = Cf (x); ( ) ( ); ( ) ( ) ( ) (3) [ ( )] ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2 1 =    + +     = =  = = n i n k i k i k n n n i i f x f x f x f x f x f x f x f x f x   

例题分析 例1求y=x 3=2x+sinx 的导数 解y=3x2-4x+cosx 例2求y=sin2xlnx的导数 解y=2sinx·c0sxlx y=2cos x cos x Inx+ 2sin x(sin x). Inx +2sin x cos x. 2 cos 2xInx+sin 2x

例题分析 例1 2 sin . 求 y = x 3 − x 2 + x的导数 解 2 y = 3x − 4x 例2 求 y = sin 2x  ln x的导数 . 解  y = 2sin x  cos x  ln x y = 2cos x  cos x  ln x+ 2sin x (− sin x) ln x x x x 1 + 2sin  cos  + cos x. sin 2 . 1 2cos 2 ln x x = x x +

例3求y=tanx的导数 解y=(tanx sIn cos x (sin x)'cos x -sin x(cos x) 2 cos 2 cos + sin x sec d cos x cos 即(t tanr)=secx 同理可得 (cot x)=-cSC'x

例3 求 y = tan x的导数 . 解 ) cos sin  = (tan ) = (  x x y x x x x x x 2 cos (sin ) cos − sin (cos ) = x x x 2 2 2 cos cos + sin = x x 2 2 sec cos 1 = = 2 即 (tan ) sec . x x  = 2 同理可得 (cot ) csc . x x  = −

例4求y=secx的导数 解y=(secx)=() cos d (cos x sin x =sextant cos cos 同理可得 (csc cscxcot x 例5求y= sinha的导数 解 y=(sinh x e-已 e te cosh。 同理可得 (cosh x)=sinh x; (tanh x) cosh"x

例4 求 y = sec x的导数 . 解 ) cos 1  = (sec ) = (  x y x x x 2 cos − (cos ) = = sec x tan x. x x 2 cos sin = (csc ) csc cot . x x x  = − 同理可得 例5 求 y = sinh x 的导数 . 解 ( )] 2 1  = (sinh ) = [ −  x − x y x e e ( ) 2 1 x x e e − = + = cosh x. 同理可得 2 1 (cosh ) sinh ;(tanh ) cosh x x x x   = =

x0时 ∫"(x)=lim In(1+x+h)-In(1+x) h→>0 h =lim=In(1+ h→>0 h 1+x 1+x

例 5 , ( ). ln(1 ), 0 , 0 ( ) f x x x x x f x   +  设 = 求 解 当 x  0 时 , f  ( x ) = 1 , 当 x  0 时 , h x h x f x h ln(1 ) ln(1 ) ( ) lim0 + + − +  = → ) 1 ln( 1 1 lim0 x h h h + = + → , 1 1+ x =

当x=0时 ∫" (0)=lim (0+h)-ln(1+0) h→0 f(0=lim ln[1+(0+h)l-ln(1+0) h→0 h f∫(0)=1 x0 1+x

当x = 0时, h h f h (0 ) ln(1 0) (0) lim 0 + − +  = → − − = 1, h h f h ln[1 (0 )] ln(1 0) (0) lim 0 + + − +  = + → + = 1,  f (0) = 1. . , 0 1 1 1, 0 ( )      +    = x x x f x