连续型随机变量
连续型随机变量 1
分布函数 口随机变量的取值表示随机事件 口如:X=丌,X<3,0≤X<5都表示随机事件 口对某个实数xX≤x可以表示随机事件,其概率 P(X≤x)与实数x有关,对每个实数x,都有唯 的概率值P(X≤x)与之对应,从而构成函数 关系,记为 F(x)=PX≤x)
分布函数 随机变量的取值表示随机事件。 如：𝑿 = 𝝅,𝑿 < 𝟑,𝟎 ≤ 𝑿 < 𝟓都表示随机事件 对某个实数𝒙,𝑿 ≤ 𝒙可以表示随机事件，其概率 𝑷(𝑿 ≤ 𝒙)与实数𝒙有关，对每个实数𝒙，都有唯 一的概率值𝑷(𝑿 ≤ 𝒙)与之对应，从而构成函数 关系，记为 𝑭 𝒙 = 𝑷(𝑿 ≤ 𝒙) 2
分布函数定义 口设X是一个随机变量,x是任意实数,函数 F(x)=P(X≤x) 称为X的分布函数。 口对于任意的实数x1,x2(x1<x2),有: P(x1<X≤x2)=P(X≤x2)-P(X≤x1) =F(x2)-F(x1)
分布函数定义 设𝑿是一个随机变量，𝒙是任意实数，函数 𝑭 𝒙 = 𝑷(𝑿 ≤ 𝒙) 称为𝑿的分布函数。 对于任意的实数𝒙𝟏, 𝒙𝟐 𝒙𝟏 < 𝒙𝟐 ，有： 𝑷 𝒙𝟏 < 𝑿 ≤ 𝒙𝟐 = 𝑷 𝑿 ≤ 𝒙𝟐 − 𝑷 𝑿 ≤ 𝒙𝟏 = 𝑭 𝒙𝟐 − 𝑭 𝒙𝟏 3 x x X x1 x2 x X o
例:离散型rv的分布函数 口设随机变量X的分布律为X-123 111 pk 求X的分布函数 424 解:当x<1时,满足X≤x的X的集合为必, F(x)=P{X≤x}=P{∞}=0 x-1023
例：离散型r.v.的分布函数 设随机变量𝑿的分布律为 求𝑿的分布函数. 4 X pk 2 1 -1 2 3 4 1 4 1 解：
例:离散型rv的分布函数 当-1≤x<2时,满足X≤x的X取值为X=-1 F(x)=P{X≤x}=P{X=-1} 4 X-123 1x23 x 424 当2≤x<3时,满足X≤x的X取值为X=1,或2 1 F(x)=P{X≤x}=P{X=-1或X=2}=+
例：离散型r.v.的分布函数 5
例:离散型rv的分布函数 同理当3≤x时, F(x)=P{X≤x}=P{X=-1X=2∪X=3}=1 x<-1 114,-1≤x<2, F(x) 3/4,2≤x<3, 1,x≥3
例：离散型r.v.的分布函数 6
分布律与分布函数 XIxI x2 x3 x4 X< X<x<x P PI p2 P3 p4 P1 F(x)={n1+p2x2≤x<x3 t p,+ x3≤x<x x≥x4 如何根据分布 函数推分布律? P1+p2+P3 x2 x3 x
分布律与分布函数 7 X x1 x2 x3 x4 P p1 p2 p3 p4 x x1 x2 x3 x4 1 . p . 1 p . 1+ p2 . p1+p2+p3 + + + = 4 1 2 3 3 4 1 2 2 3 1 1 2 1 1 0 x x p p p x x x p p x x x p x x x x x F x , , , , , , , ( ) 如何根据分布 函数推分布律？
例 口一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任 同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比, 并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距 离,试求随机变量X的分布函数。 解:(1)若x<0,则{X≤x}是不可能事件,于是 F(x)=P{X≤x}=P()=0. (2)若0≤x≤2,由题意, X P{0≤X≤x}=kx2
例： 一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一 同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比， 并设射击都能中靶，以𝑿表示弹着点与圆心的距 离，试求随机变量𝑿的分布函数。 8
取x=2,由已知得P{0≤X≤2}=1,与上式对比 得k=1/4,即P0≤X≤x} 于是,0≤x≤2时 F(X)=P{X≤x}=P{X<0}+P{0≤X≤x} (3)若x≥2,则{X≤x}是必然事件,于是 F(x)=P{X≤x}=1
9
x<0 F(x)={x2/4,0≤x<2 1,x≥2. 123
10
