数理逻 课程Ⅹ
数理逻辑 课程X
第10章关系 关系是在集合上定义的一个常用的概念.例如, 在自然数之间可以定义相等关系和小于关系,在 命题公式之间可以定义等价关系和永真蕴涵关系 在集合A的各子集之间可以定义相等关系和包 关系、此外,在学生和课程之间存在选课关系, 在课程表上反映了课程、班级、教师、教室、 间等之间的关系.关系就是联系,也就是映 射.在数据库的一种重要类型关系数据库中保存 了各数据项之间的关系,关系数据库中的数据结 构就是按照本章所定义的关系设计的
第10章 关 系 关系是在集合上定义的一个常用的概念．例如， 在自然数之间可以定义相等关系和小于关系，在 命题公式之间可以定义等价关系和永真蕴涵关系， 在集合A的各子集之间可以定义相等关系和包含 关系．此外，在学生和课程之间存在选课关系， 在课程表上反映了课程、班级、教师、教室、时 间等之间的关系．关系就是联系，也就是映 射．在数据库的一种重要类型关系数据库中保存 了各数据项之间的关系，关系数据库中的数据结 构就是按照本章所定义的关系设计的．
10 元关系 10.1.1二元关系的定义 定义10.1.1对集合A和B,A×B的任一子集 称为A到B的一个二元关系,一般记作R.若∈R,可记作xRy;若R,可记作×R y.在A=B时,A×A的任一子集称为A上的 关 系.二元关系可简称关系 ↑从形式上说,二元关系是笛卡儿积的子集,换句 话说,它是有序对的集合.从语义上说,二元关 系是集合A和B元素之间的联系.从下面的例子 可以看出这种联系
10．1 二元关系 10．1．1 二元关系的定义 定义10．1．1 对集合A和B，A×B的任一子集 称为A到B的一个二元关系，一般记作R．若∈R，可记作xRy;若R，可记作x y．在A=B时，A×A的任一子集称为A上的一个 二元关系．二元关系可简称关系． 从形式上说，二元关系是笛卡儿积的子集，换句 话说，它是有序对的集合．从语义上说，二元关 系是集合A和B元素之间的联系．从下面的例子 可以看出这种联系．
例1设A={0,1},B三{a,b}.贝 R|={} R2={,,y 是A到B的两个二元关系 R3={,} R4={,, 是A上的两个二元关系
例1 设A＝{0，1}，B={a，b}．则 Rl={}， R2={，，} 是A到B的两个二元关系． R3＝{，} R4＝{，，} 是A上的两个二元关系．
例2设X={1,2,3},定义X上的关系D和 DX={|X∈Xy∈Xx整除y} L×{X∈Xy∈X入×≤y 于是,Dx是 DX={,,,} Lx关系 LX={,,,}
例2 设X＝{1，2，3}，定义X上的关系Dx和Lx 为 Dx={|x∈X∧y∈X∧x整除y} Lx＝{|x∈X∧y∈X∧x≤y} 于是，Dx是 Dx={，，，，}． Lx关系是 Lx={，，，， ，}．
例3对任意的集合A,在P(A上的包含关 系R1和真包含关系R2定义为 R1={|X∈P(A)^y∈P( A)ACy R2={|x∈P(A)^y∈P(A)^XCy
例3 对任意的集合A，在P(A)上的包含关 系R1和真包含关系R2定义为 R1={|x∈P(A)∧y∈P(A)∧xy} R2={|x∈P(A)^y∈P(A)^xy}
若A={},则P(A)={,{Φy},P(A 上的R1和R2是 R1={,,}, R2={}
若A＝{}，则P(A)＝{，{}}，P(A) 上的R1和R2是 R1＝{，，}， R2＝{}
二元关系是二元组的集合.推广这个概念, 可以用n元组的集合定义n元关系 定义10.1.2若n∈N且n>1,A1, A2 An是n个集合, A1×A2×…×An的任一子集称为从A1到 An上的一个元关系
二元关系是二元组的集合．推广这个概念， 可以用n元组的集合定义n元关系． 定义10．1．2 若n∈N且n>1，A1， A2，…，An是n个集合，则 A1×A2×…×An的任一子集称为从A1到 An上的一个n元关系．
101.2特殊的关系 下面定义三个A上的特殊的关系 ◆定义10.1.3对任意的集合A (1)A上的恒等关系L定义为 A={|x∈A}, (2)A上的全域关系(全关系)E定义为 EA={|X∈Ay∈Ay, (3)Φ是A上的空关系
10.1.2 特殊的关系 下面定义三个A上的特殊的关系． 定义10．1．3 对任意的集合A． (1)A上的恒等关系IA定义为 IA={|x∈A}， (2)A上的全域关系(全关系)EA定义为 EA={|x∈A^y∈A}， (3) 是A上的空关系．
↑例4设A=,则 IA={,}, A={,,,}
例4 设A＝，则 IA={，}， EA={，，，}．