上海交通大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）特征值与特征向量的概念与性质

上海交通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 特征值与特征向量 一、特征值与特征向量的概念 二、特征值和特征向量的性质

一、特征值与特征向量的概念 二、特征值和特征向量的性质

(上定关孝 、特征值与特征向量的概念 定义:设A是n阶矩阵,如果数入与n维非零列向量x使得 Ax=nx 称λ为A的一个特征值,ⅹ为对应于特征值λ 的特征向量 注: ●●●●●● 1.特征值向量≠0,特征值问题是对方阵而言的. :2.n阶方阵A的特征值,就是使齐次线性方程组 (死E-A)x=0有非零解的值λ, :3.λ是A的特征值,则 九E-A=0 ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ∴4.的特征向量的全体加零向量构成R的线性 回口子空间,记V其维数为nr(-A)

一、特征值与特征向量的概念 定义： 设A 是n阶矩阵，如果数 与n维非零列向量 x使得 Ax x =  称 为A的一个特征值， x 为对应于特征值  的特征向量。 注： 1. 特征值向量 x 0, 特征值问题是对方阵而言的. (E A x − = ) 0 2. n 阶方阵A 的特征值，就是使齐次线性方程组 有非零解的值 ， E A − = 0 3.  是A 的特征值，则 4. 的特征向量的全体加 零向量 构成 R n 的线性 子空间，记 V ,其维数为 n-r(E- A)

(上定关孝 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 九-a1 12 九E-A=0 21 22 n -aml n2 n 这是一个n次方程,称为矩阵A的特征方程 记f(2)=AE-A它是一个次多项式, 称为A的特征多项式。 注:在复数域中,特征值有n个(包括重数) 在一般数域中不然

E A − = 0  11 12 1 21 22 2 1 2 0 n n n n nn a a a a a a a a a    − − − = − − − 这是一个n 次方程，称为矩阵A的特征方程 记 f E A ( )   = − 它是一个n次多项式， 称为A 的特征多项式。 注： 在复数域中，特征值有n个（包括重数） 在一般数域中不然

(上定关孝 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 求矩阵特征值与特征向量的步骤: 1.计算A的特征多项式det(AE 2求A的特征方程det(元E-A)=0的全部根, 即A的特征值1,2…,几n 3.对特征值,求齐次线性方程组 (, E-ax 的非零解,就是对应于九,的特征向量

求矩阵特征值与特征向量的步骤： 1. 计算A的特征多项式 det(E A − ) ( ) 0 iE A x − = 3. 对特征值 i , 求齐次线性方程组 的非零解，就是对应于 i , 的特征向量。 2. 求A的特征方程 det 0 (E A − =) 的全部根， 1 2 , , , 即A的特征值    n

(上定关孝 例1-73--1 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 的特征值和特征向量 13 解A的特征多项式为 元-31 (4-3)2-1 1x-3 (孔-4)(-2) 所以4的特征值为A1=2,2=4 当=2时,由(2E-A)x=0 2-3 I 12-3 x1+v2 =0 x1-y2 =0 口口口口所得所对应的特征向量为:

解 例1 . 1 3 3 1 求 的特征值和特征向量      − − A = A的特征多项式为 3 1 1 3   − − 2 = − − ( 3) 1  = − − ( 4)( 2)   2, 4. 所以A的特征值为1 = 2 = 1 2 2 3 1 0 , 1 2 3 0 x x     −     =         −      − = − + = 0 0 1 2 1 2 x x 即 x x . 1 1 1       p = 所得所对应的特征向量为: 当 1 = 2 时 ,由 (2 0 E A x − = )

(上定关孝 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 当41=4时,由(4E-4)x=0 4-31x1)(0 4-3八x2)( 即 1人 xx 解得x1=-x2 所以对应的特征向量可取为 p2

, 0 0 1 4 3 4 3 1 2 1       =             − − x x . 1 1 2       − p = 所以对应的特征向量可取为 , x1 x2 解得 = − , 0 0 1 1 1 1 2 1       =             x 即 x 当 1 = 4 时 ,由 (4 0 E A x − = )

(上潇文大字 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 例2求矩阵A=-430的特征值和特征向量 解 元+1-10 AE-A|=42-30|=(-2)(2-1) 0x-2 所以4的特征值为a1=22=13=1 当1=2时,由(2E-A)x=0 解得 即/2+1-1 , 基础解系: 0 42-30 0 所以kp1(k≠0是对应于礼1=2的全部特征值 口口口

例２ . 1 0 2 4 3 0 1 1 0 求矩阵 的特征值和特征向量       − − A = 解 2 1 1 0 4 3 0 ( 2)( 1) , 1 0 2 E A       + − − = − = − − − −2, 1. 所以A的特征值为1 = 2 3 = 当 1 = 2 时 ,由 1 2 3 2 1 1 0 4 2 3 0 0 1 0 2 2 x x x + −     − =   − −   (2 0 E A x − = ) 即 1 0 0 , 1 p     =   ( 0) 2 . 所以k p1 k  是对应于1 = 的全部特征值 解得 基础解系：

(上潇文大字 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 当2=43=1时,由(E-A)x=0 2-10 101 而 E-A=4-20~012 000 解得 基础解系:p2 所以kP2(k≠0是对应于2=3=的全部特征值

2 1 0 1 0 1 4 2 0 0 1 2 , 1 0 1 0 0 0 E A ~     −     − = −     − − 当   2 3 = = 1 时 ,由 ( E A x − = ) 0 而 2 1 2 , 1 p   −   = −   解得 基础解系： ( 0) 1 . 所以k p2 k  是对应于 2  3 = 的全部特征值

(上定关孝 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 例4证明:若几是矩阵A的特征值,x是A的属孑的特征向量,贝 ①)x是4的特征值(m是任意常数 (2)当4可逆时,x是A的特征值 是特征值的性质 证明(1)∵Ax=Ax A(4x)=4(x)=(4x)=(x)→A2x=x2x 再继续施行上述步骤m-2次,就得 2x 故和是矩阵4"的特征值,且x是Am对应于的特 征向量

例４ 证明：若  是矩阵A的特征值， x 是A的属于  的特征向量，则 (1) 是A 的特征值(m是任意常数). m m  (2) , . 当A可逆时  −1是A −1的特征值 证明 (1) Ax = x  A(Ax) = A(x) = (Ax) = (x) A x x 2 2  =  再继续施行上述步骤 m − 2 次，就得 A x x m m =  . , 征向量 故 m 是矩阵A m的特征值 且 x是 A m 对应于 m的特 是特征值的性质

(上潇文大字 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 、特征值和特征向量的性质 1.设n阶方阵A的特征值为 1,2… 则 (1)λ+2+…+xn=a1+a2+…+am; (2)142…n=A 称为矩阵的迹 2.A与其转置矩阵AT有相同的特征值,事实上 有相同的特征多项式

(1) ; 1 2 +  n = a11 a22 + ann (2) . 12  n = A 二、特征值和特征向量的性质 1 2 , , ,    n 1. 设n 阶方阵A的特征值为： 则 2. A 与其转置矩阵AT 有相同的特征值，事实上 有相同的特征多项式。 称为矩阵的迹