《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第七章 参数估计

第七章参数估计 §1点估计 §3估计量的评选标准 §4区间估计 §5正态总均值与方差的区间估计 86(0-1)分布参数的区间估计 §7单侧置信区间

第七章 参数估计 §1 点估计 §3 估计量的评选标准 §4 区间估计 §5 正态总均值与方差的区间估计 §6 (0--1)分布参数的区间估计 §7 单侧置信区间

第七章参数估计 讨论飘理统计学的基本间题-计推断 口统计推断:利用样本提供的信息对总体的某些统 计特性进行估计或判断,从而认识总体。 口统计推断分为两大类 (1)参数估计(第七章)(2)假设检验(第八章) §7.1点估计 设总体X的分布函数的类型为已知,但是它的某 些参数是未知的,通过总体的一个样本来估计总体 未知参数的值的问题称为参数的点估计问题

设总体X 的分布函数的类型为已知，但是它的某 些参数是未知的，通过总体的一个样本来估计总体 未知参数的值的问题称为参数的点估计问题． 第七章 参数估计 §7.1 点估计 ❑统计推断:利用样本提供的信息对总体的某些统 计特性进行估计或判断，从而认识总体。 (1)参数估计(第七章）(2)假设检验(第八章) ❑统计推断分为两大类: 讨论数理统计学的基本问题---统计推断

点估计问题的一般提法: 设总体X的分布函数为F(x,的,其中θ为待估计的参数.X 2n是X的一个样本,x1x2,…x是相应的样本值 点估计:用样本X1,X2,…,Xn构造一个适当的统计量 合(X1,X2,…,xn), 用它的观察值6(r,x2,,.) 作为未知参数θ的近似值.称6(X1,x2,为的估计量 称x,x2,)为的值计值 估计量和估计值统称估为估计,并都简记为6 [注参数θ的估计量是样本X1,X2,xn的函数 点估计常用方法:矩估计法;极大似然估计法

设总体X的分布函数为F(x, ), 其中 为待估计的参数. X1 , X2 ,..,Xn是X的一个样本,x1 , x2 , …,xn是相应的样本值. ➢点估计问题的一般提法: 点估计: 用样本X1 , X2 , …,Xn构造一个适当的统计量 用它的观察值 作为未知参数的近似值.   称   (X1 , X2 , …,Xn)为 的估计量. (x1 , x2  , …,xn)  称 为的 估计值. 估计量和估计值统称估为估计,   并都简记为 . ➢点估计常用方法: 矩估计法; 极大似然估计法. [注]参数的估计量 是样本X1 , X2  ,..,Xn 的函数.  (X1 , X2 , …,Xn),   (x1 , x2 , …,xn)

、矩估计法 k阶样本矩4=∑x 矩估计法的基本思想是用样本矩估计总体矩因为由 大数定律知,样本的k阶矩依概率收敛于总体的k阶矩这种用样 本(原点矩作为总体(原点)矩的估计量的方法称为矩估计法 设总体X的分布函数为F(x;日1,日2,…,O1),其中B1,B2…,的 为待估参数如果μ=E(X)(i=1,2,,)存在,H为1,的2…,0k 的函数,记叫=H(,B2,,0)(=1,2,,k),X1,2,…Xn.总体 X的样本,用4来估计E(X),建立k个方程: 15029·5 6;=6 1(41,42 2(01,02 2(4142,· k=Hk(01,2,…,O 142 用6作为6的估计量-矩估计量

一、矩估计法 矩估计法的基本思想是用样本矩估计总体矩. 因为由 大数定律知, 样本的k阶矩依概率收敛于总体的k阶矩.这种用样 本(原点)矩作为总体(原点)矩的估计量的方法称为矩估计法． 设总体X的分布函数为F(x; 1 ,  2 , ..., k),其中1 , 2 , ... , k 为待估参数,如果 i=E(X i)(i=1,2,..,k)存在, i为1 , 2 ,…,k 的函数,记i= i (1 , 2 , …, k ) (i=1,2,..,k), X1 , X2 , …,Xn为总体 X的样本,用Ai 来估计E(X i ), 建立 k 个方程: A1= 1 ( 1 ,  2 , …, k ) A2= 2 ( 1 ,  2 , …, k ) ……………. Ak= k ( 1 ,  2 , …, k ) 1=  1 (A1 , A2 , …, A k  )  2=  2 (A1 , A2 , …, A k ) …………….   k =  k (A1 , A2 , …, A k  )  用 作为i的估计量------矩估计量. i  = = n i k k Xi n A 1 1 k阶样本矩 k   2 1 Ak A A 2 1

◆求矩估计的方法阶样本矩A=∑x 设总体X的分布函数为F(x;O1,O2,…,O),其中 G1,B2,…,.为待估参数, (1)求总体X的前k阶矩 H=E(X)=μ(B,B2,…,0k), 1,2.., (2)令 A1=(B1,B2,…,6k), 4· (3)解出 6;(41,A2,…,Ak),i1,2,…,k 合,为B的矩估计量

◆求矩估计的方法 设总体X的分布函数为F(x; 1 ,  2 , ..., k),其中 1 , 2 , ... , k为待估参数,  为i 的 矩估计量. i  = = n i k k Xi n A 1 1 k阶样本矩 (1)求总体X的前 k 阶矩 i=E(X i)= i (1 , 2 , …, k ) , i=1,2, .. ,k (2) 令 Ai = i (1 , 2 , …, k ) , i=1,2, .. ,k (3) 解出  i =  i (A1 , A2 , …, A k ) , i=1,2, .. ,k 

例1设总体X服从[u,b上的均匀分布,a,b未知, X 1412,· X为来自总体X的样本,试求a,b的 矩估计量 解|1=EX)=2 a+6 H2se(x2)=D(X)+E(R(b-a)2(a+6)2 12 由矩估计法,令 a+b X-∑(Xx-x), n i=1 (b-a)2,(a+b) 44B=F+/33 ∑ X.-X 2 12 n i=1

例1 设总体X服从[a，b]上的均匀分布，a，b未知， X1 , X2 , …,Xn为来自总体X的样本,试求a，b的 矩估计量．      + + − = = + = + = = 4 ( ) 1 2 ( ) ( ) ( ) [ ( )] , 2 ( ) 2 2 2 2 2 1 b a a b E X D X E X a b E X  解  由矩估计法,令        = + + − = + 2 2 2 1 4 ( ) 12 ( ) 2 A b a a b A a b      = + − = − − 3( ) ˆ ˆ 3( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 b A A A a A A A   = = = + − = − − n i i n i i X X n b X X X n a X 1 2 1 2 ( ) 3 ˆ ( ) , 3 ˆ

例2设总体X的均值E(X=,方差D(X=02都存在, 且G2>0.但,G2均为未知.X1,X2,…,Xn为来自总体 X的样本,求H,G2的矩估计量 解「1=E(X) A2=E(x2)=D(X+E(X)2=a2+2 由矩估计法令H=41, a2+u2=A2(p=X, A=X ∑ (X;-X 总体均值与方差的矩估计量的表达式 不因不同的总体分布而不同

   = = + = + = = 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) [ ( )] ( )      E X D X E X 解 E X    + = = 2 2 2 1 , A A    由矩估计法,令 总体均值与方差的矩估计量的表达式 不因不同的总体分布而不同．  ˆ = A1 = X 2 2 1 2  ˆ = A − A 例2 设总体X的均值E(X)=, 方差D(X)=2 都存在, 且2 >0.但 ,2 均为未知. X1 , X2 , …,Xn为来自总体 X的样本, 求,2 的矩估计量.      = − = = n i Xi X n X 1 2 2 ( ) 1 ˆ ˆ ,  

常见分布的参数矩估计量 (1)若总体X~b(1,p),则未知参数P的矩估计量为 (2)若总体X-b(N,p),则未知参数p,N的矩估计量为 ∑(X1-x2 N ,p=1- i=1 X-∑(X-x)2

(1)若总体X~b(1, p), 则未知参数 p 的矩估计量为 p ˆ = X (2)若总体X~b(N, p), 则未知参数p , N的矩估计量为 ➢常见分布的参数矩估计量 X X X n p X X n X X N n i i n i i   = = − = − − − = 1 2 1 2 2 ( ) 1 , ˆ 1 ( ) 1 ˆ

(3)若总体X~N(μ22,则未知参数μ2的矩估计量为 x,G2=1∑(x2-x)2 n (4)若总体X~mλ),则未知参数A的矩估计量为 =,或元=1y (X1-X)2 i=1 点估计的矩估计法要求总体原点矩存在,而有些随机变量的 原点矩不存在,就不能用此法进行参数估计。此外,矩估计 有时不唯一;再者它没有利用总体分布函数所提供的信息, 因此很难保证它有优良的性质

(3)若总体X~ N(,2 ), 则未知参数,2的矩估计量为 = = = − n i Xi X n X 1 2 2 ( ) 1 ˆ ,ˆ (4)若总体X~ (), 则未知参数 的矩估计量为 , ˆ  = X = = − n i Xi X n 1 2 ( ) 1 ˆ 或  点估计的矩估计法要求总体原点矩存在，而有些随机变量的 原点矩不存在，就不能用此法进行参数估计。此外，矩估计 有时不唯一；再者它没有利用总体分布函数所提供的信息， 因此很难保证它有优良的性质

二、最大似然估计法 最大似然估计法是目前仍然得到最广 泛应用的一种方法,它是建立在极大似然 原理的基础上的一个统计方法。 最大似然法原理的直观想法:“概率最大的事件 最可能出现”.例如有一个事件若知道它出现的概率 只能是001或099而在一次观测中此事件出现此时 自然会说它的概率应为099因此参数估计的极大似 然法是要选取这样的值来作为参数的估计值,使得当 参数取这一数值时,观测结果出现的可能性为最大

二、最大似然估计法 最大似然估计法是目前仍然得到最广 泛应用的一种方法，它是建立在极大似然 原理的基础上的一个统计方法。 最大似然法原理的直观想法: “概率最大的事件 最可能出现”. 例如有一个事件,若知道它出现的概率 只能是0.01或0.99,而在一次观测中,此事件出现,此时 自然会说它的概率应为0.99.因此,参数估计的极大似 然法是要选取这样的值来作为参数的估计值,使得当 参数取这一数值时,观测结果出现的可能性为最大