《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第一章 函数与极限 §1.1 函数

§11函数 函数的概念 初等函数

一. 函数的概念 二. 初等函数 §1.1 函数

案例1 去银行存钱,假设一年定期整存整取的年 利率为325%,则存款金额x与一年到期时 的利息y之间的对应关系如下表 体现了变量取值的对应关系 x50010002000500010020000 y16.2532.5065.01625032500650.00 理想n

x y 500 1000 2000 5000 10000 20000 16.25 32.50 65.00 162.50 325.00 650.00 案例1 体现了变量取值的对应关系 去银行存钱, 假设一年定期整存整取的年 利率为3.25% , 则存款金额 与一年到期时 的利息 之间的对应关系如下表: x y

案例2-气温自动记录仪把某一天的温变化描绘在 峰记录纸上,如下图所示的曲线曲线上某 点P(t0,0)表示时刻t0的气温是6 t0/°C 观察这条曲 15 线,可以知 道在这一天 Po(o, Bo 内,时间从 0点到24点 气温的变化 情形. 24 时间和气温都是变量,这两个变量之间的对应 关系是由一条曲线确定的

案例2 气温自动记录仪把某一天的气温变化描绘在 记录纸上, 如下图所示的曲线. 曲线上某一 点 表示时刻 的气温是 . 0 ( , ) t 0 0 0 P t 0 时间和气温都是变量，这两个变量之间的对应 关系是由一条曲线确定的． 观察这条曲 线，可以知 道在这一天 内，时间从 0点到24点 气温的变化 情形． 0 o t 12 24 t / h 0 155 C   / ( , ) 0 0 0 P t 

案侧3 圆的面积A由圆的半径F决定.只要r取 定一个数值,面积A就有一个确定的值与之对 应,且A与F之间有如下关系式: A=兀r2(r>0) 半径为

案例3 2 A = π r (r  0). 圆的面积 由圆的半径 决定. 只要 取 定一个数值, 面积 就有一个确定的值与之对 应, 且 与 之间有如下关系式: A A A r r r o 半径为 r

案侧4某市现行出租车收费标准为乖在不超过3km,收 警费10元;超过3 当用程每 km(不足1km 过 的里程每km(不足1km按1km计)加收3元 分析 由于乘车里程不超过3km、超过3km而不超过 15km及超过15km的收费标准不同,乘客乘车的费 用P与乘车的里程X之间的数量关系应用三个数 学式来表示,即 分段函数 10 015

案例4 某市现行出租车收费标准为:乘车不超过3km,收 费10元;超过3 km而不超过15km,超过的里程每 km(不足1 km按1 km计)加收2元;超过15km,超过 的里程每km(不足1 km按1 km计)加收3元.     + − + −  + −     = 10 2(15 3) 3( 15), 15. 10 2( 3), 3 15, 10, 0 3, x x x x x P 分段函数 由于乘车里程不超过3 km、超过3 km而不超过 15km及超过15 km的收费标准不同,乘客乘车的费 用 与乘车的里程 之间的数量关系应用三个数 学式来表示,即 P x 分析

以上列举的案例,虽是来自不同的领域,而且具有不 同的表示形式,有表格、图形、公式,但它们的共性是: 都反映了在同一过程中有着两个相互依赖的变量,当其 中一个量在某数集内取值时,按一定的规则,另一个量 有唯一确定的值与之对应变量之间的这种数量关系就 是函数关系

以上列举的案例, 虽是来自不同的领域, 而且具有不 同的表示形式, 有表格、图形、公式，但它们的共性是: 都反映了在同一过程中有着两个相互依赖的变量, 当其 中一个量在某数集内取值时, 按一定的规则, 另一个量 有唯一确定的值与之对应. 变量之间的这种数量关系就 是函数关系

函数的概念 定义11设x和y是两个变量,D是一个给定的非空数集 若对于每一个数x∈D,按照某一确定的对应法则变量总 有唯一确定的数值与之对应则称y是x的函数 y=f(x),x∈D. 因变量自变量]『定义域」 定义域D是自变量x的取值范围,也就是使函数y=f(x) 有意义的数集由此,若取数值x∈D时,则称该函数在x 有定义,与x对应的y的数值称为函数在点x的函数值,记 作 f(x)或yx=x

定义域 是自变量 的取值范围，也就是使函数 有意义的数集．由此，若取数值 时，则称该函数在 有定义，与 对应的 的数值称为函数在点 的函数值，记 D x y = f (x) x0  D 0 x 0 x y 0 x ( ) 0 f x 或 . 0 x x y = y = f (x) ，x D. y 定义1.1 设 和 是两个变量, 是一个给定的非空数集. 若对于每一个数 ,按照某一确定的对应法则 ,变量 总 有唯一确定的数值与之对应,则称 是 的函数. x xD y D y x f 因变量 自变量 定义域 一.函数的概念

当x遍取数集D中的所有数值时,对应的 值域函数值全体 z要会求函数的定义城 2要会使用对应法则 定义域D 决定一个 决定一个 函数的两 函数有三 对应法则八 个要素 个因素: 值域2

决定一个 函数有三 个因素： 对应法则 f 值域 Z 定义域 D 当 遍取数集 中的所有数值时, 对应的 函数值全体 x D 决定一个 函数的两 个要素 Z = y y = f (x), xD 1.要会求函数的定义域； 2.要会使用对应法则. 值域

练习1 求函数y= h(x+1)的定义域 分析 x4 要使该项有意义,分母要使该项有意义,对 的被开方式必须大于0;数的真数必须大于0 解要使该函数有意义,必须 4-x2>0.-20 x>-1 公共部分 所以,该函数的定义域为(-1,2)

要使该项有意义，对 数的真数必须大于0. ln( 1) 4 3 2 2 + + − − = x x x 求函数 y 的定义域. 要使该项有意义，分母 的被开方式必须大于0； 练习1 解 要使该函数有意义，必须    +  −  1 0. 4 0, 2 x x −2  x  2 x  −1 − 2 −1 o 2 x 公共部分 所以，该函数的定义域为 (−1,2) 分析

练习2设y=f(x)=x2-3x+2 这是已知函数的 求f()f0(a,f(x),f((x)表达式求函数在 指定点的函数值 解f(1是当自变量x取1时函数的函数值 f(x)=x2-3x+2将(x法表示式中的x换为 为数值1 或记作∫(1)=12-3×1+2=0. yx=1=(x2-3x+2)x1=12-3×1+2=0 类似地f(0)=02-3×0+2=2 f(-1)=(-1)2-3×(-1)+2=6 f(a)=a2-3a+2

这是已知函数的 表达式,求函数在 指定点的函数值． 练习2 设 ( ) 3 2, 2 y = f x = x − x + 求 f (1), f (0), f (a), f (−x), f ( f (x)). 解 f (1) 是当自变量 x 取1时函数的函数值． ( ) 3 2, 2 f x = x − x + 1 将 表示式中的 换为 为数值1 f (x) x f (1) = 2 1 −31 + 2 = 0. 类似地 f (0) = 2 0 −30 + 2 = 2. ( 3 2) 1 3 1 2 0. 2 1 2 y x=1 = x − x + x= = −  + = 或记作 ( 1) ( 1) 3 ( 1) 2 6. 2 f − = − −  − + = ( ) 3 2. 2 f a = a − a +