1.题目 解::(1+x)2n=(1+x):(1+x) 2n/2n x+…+ 2n\2n 0 2n n n n x+∴+ n n n n n n 比较n次方系数即可证
1. 题目 解： = = + + + = + + + + = + + , n -1 n 1 n , n n 0 n ] n n 1 n 0 n [ 2n 2n 1 2n 0 2n (1 ) (1 ) (1 ) 2 2 2 n n n n n x x x x x x x 比较n次方系数即可证
2.题目 解: +x+.x°)100 [1+(x2+ 8100 ∑C6o·(x+x3)1 00-k k=0 分析(x4+x3)的结构可知仅当k=3,45 时有x2项 k=3时,系数=C10C2 k=4时,系数=C 100 k=5时,系数=C1 三个系数相加即为所求
2. 题目 解： = − = + + + = + + 100 0 4 8 100 100 4 8 100 4 8 100 ( ) 1 (1 ) [1 ( )] k k k k C x x x x x x 分析 的结构可知仅当 时有 项 k (x x ) 4 8 + k = 3,4,5 20 x 2 3 3 100 k = 3时， 系数 = C C 3 4 4 100 k = 4时， 系数 = C C 0 5 5 100 k = 5时， 系数 = C C 三个系数相加即为所求
3.题目 解: 用指数型母函数,可得母函数 G(x)=(1+x+x2)·(1+x+x2+x x系数即为所求
3. 题目 解： 用指数型母函数，可得母函数 2 4 2 3 3 G(x) = (1+ x + x ) (1+ x + x + x ) x 10 系数即为所求
4.题目 解:A、B、C、D组成的全排列数为 x P=(1 1!2 出现A后,其后续字母必为A、B、C、D 中的一个,其概率相等。 X P=(1++…)3[1+x+ 4 2! 2
4. 题目 解：A、B、C、D组成的全排列数为 x e x x P 4 4 2 ) 1! 2! (1 = = + + + 出现A后，其后续字母必为A、B、C、D 中的一个，其概率相等。 x x x e e e x x x P 4 15 4 3 3 2 3 ] 2! ) 4 3( 4 3 ) [1 1! (1 = = = + + + + +
AB至少出现一次的排列为 4x P=P-P=ee 15 4 n=0 排列数为 15 4
AB至少出现一次的排列为 = − = = − = − 0 4 15 4 ! ) 4 15 4 ( n n n n x x x n P P P e e 排列数为 n n an ) 4 15 = 4 − (
5.题目 解:对符合题设要求的排列如果0可以出现 在最高位,则可得母函数: G(x)=(1+x++…)2·(1+ 2!4! e (e+2e+1) ∑(4+2.2"+1) 4 n=0
5. 题目 解：对符合题设要求的排列如果0可以出现 在最高位，则可得母函数： ! (4 2 2 1) 4 1 ( 2 1) 4 1 ( )] 2 1 [ ) 2! 4! ) (1 2! ( ) (1 0 4 2 2 2 2 2 4 2 2 n x e e e e e x x x G x x n n n n x x x x x = + + = + + = + = + + + + + + = −
(4+2.2+1) 但是对n位四进制数来说最高位不能为 [(42+2·2+1)-(4+2.2+1) 4 (34-+2”) 4
但是对n位四进制数来说最高位不能为 0。 (4 2 2 1) 4 1 = + + n n an (3 4 2 ) 4 1 [(4 2 2 1) (4 2 2 1)] 4 1 1 1 1 1 n n n n n n an an an = + = + + − + + = − − − − −
6.题目 解: 参见第四题解答前半部分
6. 题目 解： 参见第四题解答前半部分
题目 解:题设中序列的母函数为: G(x=c(n, n)+C(n+l, n)x+ +c(n+k, n)x+ ∑C(n+k,n)x k=0 (k+n)(k+n-1)…(k+1) k=0 由$4性质3得,上式 n+1 X
7. 题目 解：题设中序列的母函数为： = = + + − + = = + + + + = + + + 0 0 ! ( )( 1) ( 1) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( 1, ) k k k k k x n k n k n k C n k n x C n k n x G x C n n C n n x 由$4性质3得，上式 1 (1 ) 1 + − = n x
8.题目 解: 等式的右端相当于从n+m+1个球中取 n+1个球的组合。 把这n+m+1个球编号,如果取出的n+ 个球中最小编号是一,则得到C(n+m,n) 如果最小编号是二则得到C(n+m-1,n) 如果最小编号是m则得到C(n,n)。 可证
8. 题目 解： 等式的右端相当于从n+m+1个球中取 n+1个球的组合。 把这n+m+1个球编号，如果取出的n+1 个球中最小编号是一，则得到 如果最小编号是二则得到 如果最小编号是m则得到 。 可证 C(n + m,n) C(n + m −1,n) C(n,n)