第6章二次型 本章主要介绍二次型.包括把二次型化为 标准形及其二次型的正定性.通过本章的 学习,读者应该掌握以下内容: 二次型及其矩阵表示,知道二次型的秩 用正交变换把二次型化为标准形的方法 用配方法化二次型为规范形知道惯性定理 二次型的正定性及其判别法
第6章 二次型 本章主要介绍二次型．包括把二次型化为 标准形及其二次型的正定性．通过本章的 学习，读者应该掌握以下内容： 二次型及其矩阵表示，知道二次型的秩 用正交变换把二次型化为标准形的方法 用配方法化二次型为规范形.知道惯性定理 二次型的正定性及其判别法
61二次型及其矩阵表示 6.1.1合同矩阵 定义1设有两个n阶矩阵A,B,如果存在一个可逆矩阵 C使得B=CIAC,则称矩阵A与B合同 合同关系是矩阵之间的又一重要关系,它是研究二次型 的主要工具.合同关系具有以下性质: 性质1A与A自身合同 性质2若A与B合同,则B与A合同 性质3若A与B同,B与C合同,则A与C合同
合同． 6.1 二次型及其矩阵表示 6.1.1合同矩阵 定义1 设有两个 n 阶矩阵 A B, ,如果存在一个可逆矩阵 C 使得 T B C AC = ,则称矩阵 A 与 B 合同关系是矩阵之间的又一重要关系，它是研究二次型 的主要工具．合同关系具有以下性质： 性质1 A 与 A 自身合同． 性质2 若 B 合同,则 A 与 B 与 A 合同. 性质3若 与B合同, B与C合同,则 A与C 合同. A
6.1.2二次型及其矩阵表示 定义2含有n个变量的二次齐次函数 f(x1,x2;…xn)=a1 十a2xX+…+a.x nn n +2012x1X2+213x1x3+…+2an=1nx21xn 称为二次型 取 则2ax=ax+anx 实二次型可以写成:
6.1.2二次型及其矩阵表示 定义2 含有 n 个变量的二次齐次函数 2 2 2 1 2 11 1 22 2 12 1 2 13 1 3 1, 1 ( , , , ) 2 2 2 n nn n n n n n f x x x a x a x a x a x x a x x a x x − − = + + + + + + + 称为二次型． ji ij 取 a a = 2 ij i j ij i j ji j i 则 a x x a x x a x x = + 实二次型可以写成：
f(x1,x2…,xn)=a1x1+12xx2+…+anxx, +a21x2x1+a22x2+…+a2nx2X +an1xx1+a.xx2+…+ax =(x1.x x 2 n 11 记 x=2则二次型可记作 xn f=x Ax
( ) 11 12 1 1 21 11 2 2 1 2 1 2 , , , n n n n n nn n a a a x a a a x x x x a a a x = 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 2 21 2 1 22 2 2 2 2 1 1 2 2 ( , , , ) n n n n n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x = + + + + + + + + + + + + 11 12 1 21 11 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a = 1 2 n x x x = 记 x 则二次型可记作 T f A = x x
任给一个二次型,就惟一确定一个对称 矩阵;反之,任给一个对称矩阵,也可惟 确定一个二次型.这样,实二次型与实对称 矩阵之间存在一一对应关系.因此,我们把 对称矩阵A叫做二次型f的矩阵,也把∫ 叫做对称矩阵A的二次型.对称矩阵A的秩 就叫做二次型∫的秩 例如∫=-x2+2x2-4x2x2+3x 110/x 可表示为f=(x,x2,x)102x2 0-23 x
任给一个二次型，就惟一确定一个对称 矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可惟一 确定一个二次型．这样，实二次型与实对称 矩阵之间存在一一对应关系．因此，我们把 对称矩阵 叫做二次型 的矩阵，也把 叫做对称矩阵 的二次型．对称矩阵 的秩 就叫做二次型 的秩． A f f A A f 2 2 1 1 2 2 3 3 例如 f x x x x x x = − + − + 2 4 3 ( ) 1 1 2 3 2 3 1 1 0 , , 1 0 2 0 2 3 x f x x x x x − = − − 可表示为
研究矩阵的合同与实二次型理论的关系.在将实二 次型变化的过程中,我们常常需要作变换,这种变换 可以用如下关系描述 X=Cuy,+cny2 t,+CIny x=C,1V1+C,y+…+C,,y y+cn2y2+…+cmyn2 称为由变量,y2…y到变量x,x线性变换 Ci 12 Cr x 矩阵形式为x=CC= C x 可逆变换正交变换经可逆变换x=O二次型的矩阵A 变为与A合同的矩阵B=CTAC且二次型的秩不变
可逆变换,正交变换.经可逆变换 二次型的矩阵 变为与 合同的矩阵 且二次型的秩不变． 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 , , , n n n n n n n nn n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y = + + + = + + + = + + + 研究矩阵的合同与实二次型理论的关系．在将实二 次型变化的过程中，我们常常需要作变换，这种变换 可以用如下关系描述： 称为由变量 y y y 1 2 , , , n 到变量 x x x 1 2 , , , n 线性变换． 矩阵形式为 x y = C 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn c c c c c c C c c c = 1 2 n x x x = x 1 2 n y y y = y x y = C A A T B C AC =
62化二次型为标准形 62.1用正交变换法化二次型为标准形 定义3如果二次型f(x,x2,…,x)=xAx通过可逆 x=⑦y线性变换化成二次型yB且仅含平方项.即 f=y By=ky4+k,y2+.+k,y 则称上式为二次型的标准形.一般的,二次型的标 准形不惟一.标准形所对应的矩阵为对角矩阵,即 k k2 B=C AC=
6.2 化二次型为标准形 6.2.1用正交变换法化二次型为标准形 定义3 如果二次型 通过可逆 线性变换化成二次型 且仅含平方项．即 则称上式为二次型的标准形．一般的，二次型的标 准形不惟一． T 1 2 ( , , , ) n f x x x A = x x x y = C T y y B T 2 2 2 1 1 2 2 n n f B k y k y k y = = + + + y y 标准形所对应的矩阵为对角矩阵，即 1 T 2 n k k B C AC k = =
定理1任给一个二次型∫(x2x2…xn)=xAx总存在 正交变换x=Py使f化为标准形 f=1y2+42y2+…+41y2=y4y 其中λ122…是矩阵的特征值,正交矩阵P的 n个列向量n2P2…,Pn是对应于41,42…,4的 特征向量
其中 是矩阵的特征值，正交矩阵 的 个列向量 是对应于 的 特征向量． 定理1 任给一个二次型 总存在 正交变换 使 化为标准形 T 1 2 ( , , , ) n f x x x A = x x x y = P f 2 2 2 T 1 1 2 2 n n f y y y = + + + = y y 1 2 , , , n P n 1 2 , , , n p p p 1 2 , , , n
例2求一个正交变换x=Py化二次型 f(x12x2,x3)=x+4x2+x3-4x1x2-8x1x3-4x2x3 为标准形 解二次型的矩阵A=-24-2 2 A4-2E|=-24--2|=(2-5(2+4) 所以,A的特征值为A1=-4,2=3=5
例2 求一个正交变换 化二次型 为标准形． x y = P 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x x x x x x x x x x x x ( , , ) 4 4 8 4 = + + − − − 解 二次型的矩阵 1 2 4 2 4 2 4 2 1 A − − = − − − − 2 1 2 4 2 4 2 ( 5) ( 4) 4 2 1 A E − − − − = − − − = − − + − − − 所以， A 的特征值为 1 2 3 = − = = 4, 5
对于1=-4解方程(4+4E)x=0 由于 5-2-4 A+4E=-282-02-1 4-25 000 同解方程组「x=x3 X3 =x 2 基础解系为 单位化得n 32-3
对于 解方程 由于 同解方程组 一基础解系为 1 = −4 ( 4 ) A E + = x 0 5 2 4 1 0 1 4 2 8 2 0 2 1 4 2 5 0 0 0 A E − − − + = − − → − − − 1 3 2 3 3 3 1 2 x x x x x x = = = 1 2 1 2 = 1 2 3 1 3 2 3 = 单位化得 p