2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (大专组:C题、D题) C题、D题任选一题 答卷用白色A4纸,第一页为空白页(用于赛区或全国组委会对论文进行编号)。 论文題目和摘要写在第二页上,从第三页开始是论文正文。 论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。 提请大家注意:从去年起,提高了摘要在整篇论文评阅中所占的权重 ●全部题目可以从以下网址之一下载 http://mcm.edu.cnhttp://www.hep.edu.cnhttp://mcm.diy163.com C题车灯线光源的计算 安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面,车灯的对称轴水平地指向正前方,其开口 半径36毫米,深度216毫米。经过车灯的焦点,在与对称轴相垂直的水平方向,对称地放置 长度为4毫米的线光源,线光源均匀分布。在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏,屏 与FA垂直 请解决下列问题 1.计算直射光总功率与反射光总功率之比 2.计算测试屏上直射光的亮区,在有标尺的坐标系中画出其图形 3.计算测试屏上反射光的亮区,在有标尺的坐标系中画出其图形(只须考虑一次反射)。 D题赛程安排 你所在的年级有5个班,每班一支球队在同一块场地上进行单循环赛,共要进行10场比 赛.如何安排赛程使对各队来说都尽量公平呢下面是随便安排的一个赛程:记5支球队为A B,C,D,E,在下表左半部分的右上三角的10个空格中,随手填上1,2….10,就得到一个赛程 即第1场A对B,第2场B对C,…,第10场C对E为方便起见将这些数字沿对角线对称地 填入左下三角 这个赛程的公平性如何呢,不妨只看看各队每两场比赛中间得到的休整时间是否均等.表 的右半部分是各队每两场比赛间相隔的场次数,显然这个赛程对A,E有利,对D则不公平 BCDE|每两场比赛间相隔场次数 AX1936 1.2.2 B1 X 2 8 0.2.2 C92X710 4.1.0 0,0,1 E68104X 1.1.1 从上面的例子出发讨论以下问题 1)对于5支球队的比赛,给出一个各队每两场比赛中间都至少相隔一场的赛程 2)当n支球队比赛时,各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限是多少 3)在达到2)的上限的条件下,给出〃=8,n=9的赛程,并说明它们的编制过程 4)除了每两场比赛间相隔场次数这一指标外,你还能给出哪些指标来衡量一个赛程的优 劣,并说明3)中给出的赛程达到这些指标的程度 第1页,共1页
第1页，共1页 2002 高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （大专组：C 题、D 题） ⚫ C 题、D 题任选一题。 ⚫ 答卷用白色 A4 纸，第一页为空白页（用于赛区或全国组委会对论文进行编号）。 ⚫ 论文题目和摘要写在第二页上，从第三页开始是论文正文。 ⚫ 论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。 ⚫ 提请大家注意：从去年起，提高了摘要在整篇论文评阅中所占的权重。 ⚫ 全部题目可以从以下网址之一下载： http://mcm.edu.cn http://www.hep.edu.cn http://mcm.diy.163.com C 题 车灯线光源的计算 安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方，其开口 半径 36 毫米，深度 21.6 毫米。经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置 长度为 4 毫米的线光源，线光源均匀分布。在焦点 F 正前方 25 米处的 A 点放置一测试屏，屏 与 FA 垂直。 请解决下列问题： 1. 计算直射光总功率与反射光总功率之比。 2. 计算测试屏上直射光的亮区，在有标尺的坐标系中画出其图形。 3. 计算测试屏上反射光的亮区，在有标尺的坐标系中画出其图形（只须考虑一次反射）。 D 题 赛程安排 你所在的年级有 5 个班，每班一支球队在同一块场地上进行单循环赛, 共要进行 10 场比 赛. 如何安排赛程使对各队来说都尽量公平呢. 下面是随便安排的一个赛程: 记 5 支球队为 A, B, C, D, E，在下表左半部分的右上三角的 10 个空格中, 随手填上 1,2,10, 就得到一个赛程, 即第 1 场 A 对 B, 第 2 场 B 对 C, , 第 10 场 C 对 E. 为方便起见将这些数字沿对角线对称地 填入左下三角. 这个赛程的公平性如何呢, 不妨只看看各队每两场比赛中间得到的休整时间是否均等. 表 的右半部分是各队每两场比赛间相隔的场次数, 显然这个赛程对 A, E 有利, 对 D 则不公平. A B C D E 每两场比赛间相隔场次数 A X 1 9 3 6 1, 2, 2 B 1 X 2 5 8 0, 2, 2 C 9 2 X 7 10 4, 1, 0 D 3 5 7 X 4 0, 0, 1 E 6 8 10 4 X 1, 1, 1 从上面的例子出发讨论以下问题: 1) 对于 5 支球队的比赛, 给出一个各队每两场比赛中间都至少相隔一场的赛程. 2) 当 n 支球队比赛时, 各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限是多少. 3) 在达到 2) 的上限的条件下, 给出 n=8, n=9 的赛程, 并说明它们的编制过程. 4) 除了每两场比赛间相隔场次数这一指标外, 你还能给出哪些指标来衡量一个赛程的优 劣, 并说明 3) 中给出的赛程达到这些指标的程度