南京大学：《数值计算方法》课程教学资源（PPT课件）第3章 解线性方程组的数值解法 3.2 矩阵的三角分解法 3.3 矩阵求逆

3.2矩阵的三角分解法 我们知道对矩阵进行一次初等变换,就相 当于用相应的初等矩阵去左乘原来的矩阵。 因此我们这个观点来考察 Gauss消元法用 矩阵乘法来表示,即可得到求解线性方程 组的另一种直接法:矩阵的三角分解

3.2 矩阵的三角分解法 ◼ 我们知道对矩阵进行一次初等变换，就相 当于用相应的初等矩阵去左乘原来的矩阵。 因此我们这个观点来考察Gauss消元法用 矩阵乘法来表示，即可得到求解线性方程 组的另一种直接法：矩阵的三角分解

3.2.1Gaus消元法的矩阵形式 第步等价于:a≠O时,将a21,a1y,Om消零,令1=一 则(1)行x(4)+(0行i=23,,n,其矩阵形式为 2 l310 1n100 (2) n2

3.2.1 Gauss消元法的矩阵形式 (1) (2) 1 (2) (2) 2 (2) (2) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) 1 3 1 2 1 1 (1) 1 1 (1) 1 1 1 1 1 3 1 1 2 1 (1) 1 1 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 ...... 1 ... ...... 0 1 1 1 (1) ( ) ( ) i 2 3 ..., 1 : 0 , ,..., , 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 L A A a a a a a a a a a a a a a a a a l l l -l i n a a a a a a l n n n n n n n n n n n n i i n i                 =                                 − − −  + =  = 行 行 ，， ，其矩阵形式为 第 步等价于 时，将 消零 令 则 （ ） （ ） （ ）

阿理第2步等价于:若a2≠0时,用矩阵 010 2)(i=34,…,n) a 12 22a2 左乘2,即有:2421=00a43…a9=A0 nn

(3) (3) (3) 3 (3) 3 (3) 3 3 (2) 2 (2) 2 3 (2) 2 2 (1) 1 (1) 1 3 (1) 1 2 (1) 1 1 2 2 2 (2) 2 2 (2) 2 2 2 2 3 2 (2) 2 2 0 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 ... 0 ... ... : ( 3,4,..., ) 0 0 ... 1 ... ... ... 0 1 ... 0 0 1 0 ... 0 1 0 0 ... 0 2 0 A a a a a a a a a a a a A L A i n a a l l L l a n n n n n n ( ) ( ) i i n =                 = = =                 − = −  左乘 ，即有 同理第 步等价于：若 时，用矩阵  

以此类推可得 0 L2L1A=00 3n 000 因为 32 2

                =             = =                 = − − − − 1 ... 1 1 1 ... ... 1 ... 1 1 0 0 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 ... 0 ... ... ... 2 3 2 1 2 1 1 2 1 1 ( ) (3) 3 (3) 3 3 (2) 2 (2) 2 3 (2) 2 2 (1) 1 (1) 1 3 (1) 1 2 (1) 1 1 1 2 2 1 n n n n n n n n n n l L l l l L U a a a a a a a a a a L L L L A 因为 以此类推可得

所以A=(Ln1Ln2,L2L1)U=L1l2.,Ln2LnU 32 U=LU n2 nn-1 其中L为单位下三角阵,U为上三角阵

其中 为单位下三角阵， 为上三角阵 所以 U ... 1 ... ... ... 1 1 1 ( ... ) ... 1 2 1 3 1 3 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 1 L U LU l l l l l l A L L L L U L L L L U n n n n n n n n =                 = = = − − − − − − − − − − 

由此解线性方程组Ax=b就等价于解两 个三角方程: L(x)=b→ 因此,关键问题在于能否对矩阵A直接进 行LU分解

行 分解。 因此，关键问题在于能否对矩阵 直接进 个三角方程： 由此解线性方程组 就等价于解两 LU A U x y Ly b L U A x b x b    = = =  = ( )

3.2.2 Doolittle分解 此分解在于如何算出L,U的各元素,以n=3为例 13 13 2 2 k=时:a1=L1∴1=a1(j=12,3) 由a21=l421得21 由a1=u41得l1=红

3.2.2 Doolittle分解 1 1 3 1 3 1 1 1 3 1 3 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 3 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 3 1 3 2 2 1 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 1 ( 1,2,3) 1 1 1 , 3 u a a u l l u a a u l l k a u u a j u u u u u u l l l a a a a a a a a a L U n j j j j = = = = = =  = =                     =           = 由 得 由 得 ； 时： 此分解在于如何算出 的各元素，以 为例

k=2时:a2=l24L2+2得 2 21012 23 +23 得 23 23 田a 32-131112 32 l,u tl 32023 得 32 22 k=3时:由a3=l21l13+ 3223+l2 33 得

( ) 3 2 3 3 3 3 3 1 1 3 3 2 2 3 3 3 3 1 1 3 3 2 2 3 3 3 2 2 3 2 3 1 1 2 3 2 3 1 1 2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 1 1 3 2 3 2 3 2 3 2 1 1 3 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 u a l u l u k a l u l u u u a l u a l u l u l a l u u u a l u k a l u u u a l u = − + = = + + − = + = = + = − = = + = − 得 时：由 由 得 由 得 ； 时： 得 ；

Doolittle分解 ■若矩阵A有分解:A=LU,其中为单位下 三角阵,U为上三角阵,则称该分解为 Doolittle分解,可以证明,当A的各阶顺 序主子式均不为零时, Doolittle分解可以 实现并且唯

Doolittle分解 ◼ 若矩阵A有分解：A=LU，其中L为单位下 三角阵，U为上三角阵，则称该分解为 Doolittle分解，可以证明，当A的各阶顺 序主子式均不为零时，Doolittle分解可以 实现并且唯一

■A的各阶顺序主子式均不为零,即 Ik A ≠0(k=1,2,n) k1 k

◼ A的各阶顺序主子式均不为零，即 0 ( 1,2,... ) ... ... ... ... ... 1 1 1 1 k n a a a a A k kk k k =  =