§4.4函数的极值与最值 设函数y=f(x)在(a,b内图形如下图: y=f( 在5处的函数值∫(5)比它附近各点的函数值都要小; 而在52处的函数值(52)比它附近各点的函数值都要大; 但它们又不是整个定义区间上的最小、最大者,而且 ∫(5)>∫(52)将这样的点称为极小值点、极大值点
1 o x y y= ƒ(x) M m 1 2 a b §4.4 函数的极值与最值 设函数y = ƒ(x)在(a ‚ b)内图形如下图: 1 1 在 处的函数值 f ( ) 比它附近各点的函数值都要小; 2 2 而在 处的函数值 f ( ) 比它附近各点的函数值都要大; 1 2 f f ( ) ( ). 但它们又不是整个定义区间上的最小、最大者, 而且 将这样的点称为极小值点、极大值点
函数的极值 1极值的定义 定义1设y=f(x)在邻域U(x,。内有定义,x∈U(x,8)恒有 (1)(x)>f(x),则称f(x)为函数f(x)的极大值 x0称为∫(x)的极大值点 (2)∫(x)>∫(x),则称f(x)为函数f(的极小值 x0称为f(x)的极小值点 我们将函数的极大值与极小值统称极值,极大值点与 极小值点统称极值点 极模\极小极值点/极大值点 极大值 \极小值点
2 一.函数的极值 1.极值的定义 定义1 设 y =ƒ(x) 在邻域 U x( , ) 0 内有定义， 恒有 0 0 x U x( , ) 0 (1) ( ) ( ) f x f x , 则称 0 为函数ƒ(x)的极大值. f x( ) x0 称为ƒ(x)的极大值点. 0 (2) ( ) ( ) f x f x , 则称 为函数ƒ(x)的极小值. 0 f x( ) x0 称为ƒ(x)的极小值点. 极大值 极值 极小值 极大值点 极值点 极小值点 我们将函数的极大值与极小值统称极值, 极大值点与 极小值点统称极值点
M 问题:请指出右图中的极值及极值点 =f(x) 2极值与最值 斗4x 由极值定义知:极值是函数 的局部性态.即只是函数在一个 邻域内最大的值和最小的值,故它只可能在(a,b的内点处取得 而函数的最大值与最小值则是指整个定义域内区间[a,矶的整 体性态,不仅可在{,b的内点取得,也可在a,b的端点取得 个函数可能有若千个极小值或极大值.而且5处极小值 却比ξ2处的极大值还大 但在定义区间内却最多只有一个最大最小值
3 问题:请指出右图中的极值及极值点. o x y y= ƒ(x) M m 1 2 3 a 2.极值与最值 b 由极值定义知: 极值是函数 的局部性态. 即只是函数在一个 邻域内最大的值和最小的值, 故它只可能在(a, b)的内点处取得. 而函数的最大值与最小值则是指整个定义域内区间[a , b]的整 体性态, 不仅可在[a, b]的内点取得,也可在[a, b]的端点取得. 一个函数可能有若干个极小值或极大值. 而且 处极小值 却比 处的极大值还大. 1 2 但在定义区间内却最多只有一个最大最小值
∠3驻点的定义 导数为零的点(即方程f(x)=的实根),称为函数f(x)的驻点 如p=x2:y=2x=0有x=0则x=0为=x2的驻点 4极值的必要条件 定理8(极值的必要条件)设函数y=f(x)在点x处可导.若x为 的极值点.(即f(x)为极值则xn为函数的驻点即f(x)=0 证设f(x)为极值(不妨设为极大值,则必存在x的一个邻域 U(xn,D),当x+Ax∈U(x.6)时有f(x+Ax)-f(xn)<0 ∫(x)≥0且f(x)≤0f(x0)=0 注1.可导函数的极值点必是它的驻点 从而有几何意义:可导函数的图形在极值点处的切线是 与x轴平行的(罗尔定理)
4 f x ( ) 0 = 2 如 y x = 0 x 0 f x( ) 0 x 0 U x( , ), 0 0 x x U x + ( , ) 0 0 f x x f x ( ) ( ) 0 + − 导数为零的点(即方程 的实根), 称为函数ƒ(x)的驻点. 2 则 为 的驻点 0 . x y x = = 4.极值的必要条件 证 当 时有 0 0 f x f x ( ) 0 ( ) 0 − + 且 0 f x ( ) 0 = 注1.可导函数的极值点必是它的驻点. 定理8(极值的必要条件)设函数y =ƒ(x) 在点 处可导. 若 为 的极值点. (即 为极值). 则 为函数的驻点(即 ) 3.驻点的定义 y x x = = = 2 0 0 有 0 x 设 为极值(不妨设为极大值), 则必存在 的一个邻域 f x ( ) 0 = 0 f x( ) 0 x 从而有几何意义: 可导函数的图形在极值点处的切线是 与 x 轴平行的.(罗尔定理)
注2.对可导函数来说,驻点不一定是极值点 即曲线上有水平切线的地方,函数不一定有极值.如 f(x)=x3→f(0=0则x=0为(x)=x3的驻点 如图:x=0不是f(x)的极值点 结论:对于可微函数来讲“极值点一定是 驻点,但驻点却不一定是极值点”从而 其极值点必在其导数为0的那些点之中 注3函数y=x我们已知x=0是函数的连续不可导点但x=0 是函数的极小值点 实际上,连续不可导点也可能是极值点 因而函数还可能在连续不可导点处取得极值.0
5 注2. 对可导函数来说, 驻点不一定是极值点. 即曲线上有水平切线的地方, 函数不一定有极值. 如 3 f x x f ( ) (0) 0 = = 3 则 为 的驻点 0 ( ) x f x x = = 如图 不是 的极值点 : 0 ( ) . x f x = 结论: 对于可微函数来讲“极值点一定是 驻点, 但驻点却不一定是极值点 ”.从而 其极值点必在其导数为0的那些点之中. 注3.函数y=|x|. 我们已知 x = 0是函数的连续不可导点.但x = 0 是函数的极小值点. o x 3 y x = y o x y y=|x| 实际上, 连续不可导点也可能是极值点. 因而函数还可能在连续不可导点处取得极值
因此寻求极值点的方法 在导数为0的点或者是连续不可导点中去寻找 5判定极值的第一充分条件 定理9(判定极值的第一充分条件设函数y=f(x)在U(x0,) 内连续在U(x,)(或U(xn))内可导 (1.若当x∈(xn-8,x)时f(x)>0;当x∈(x1,x+δ)时, f(x)0.则xn为极小值点;f(x)为f(x)的极小值 六人 (3若当x∈U(xn.8,)时,f(x)保号,则x不为极值点 证由极值的定义及定理8可证
6 在导数为0的点或者是连续不可导点中去寻找. 定理9(判定极值的第一充分条件)设函数y =ƒ(x)在 内连续,在 (或 ) 内可导. 0 U x( , ) 0 U x( , ) 0 0 U x( , ) 0 0 0 0 0 0 (1) ( , ) ( ) 0; ( , ) ( ) 0. ( ) ( ) . x x x f x x x x f x x f x f x − + 若当 时 当 时, 则 为极大值点； 为 的极大值 5.判定极值的第一充分条件 因此寻求极值点的方法: 0 0 0 0 0 0 (2) ( , ) ( ) 0; ( , ) ( ) 0. ( ) ( ) . x x x f x x x x f x x f x f x − + 若当 时 当 时, 则 为极小值点； 为 的极小值 0 0 (3) ( , ,) ( ) , . 若当 时, 保号 则 不为极值点 x U x f x x 证 由极值的定义及定理8可证
此定理可简单叙述为:设x为连续函数f(x)的可能极值点, 若f(x在x的两侧保号,则x不是∫(x)的极值点 若当x从x左侧变到右侧时,f(x)变号,则x为∫(x)的极 值点 因此求极值的一般步骤为: (1)给出定义域并找出定义域内所给函数的驻点及连续不可导点; (2)考察这些点两侧导函数的符号(方法:特殊取点),从而确定极值点 (3)求出极值点的函数值,即为极值. 例21求函数∫(x)=(x-1)(x-2)的极值 解定义域为(-∞,+∞) f(x)=2(x-1)(x-2)3+3(x-23(x-1)2=(x-1)(x-2)(5x-7)
7 因此求极值的一般步骤为: 0 x 0 f x ( ) x 0 x f x ( ) 0 x 0 x 例21 求函数 的极值. 2 3 f x x x ( ) ( 1) ( 2) = − − 此定理可简单叙述为: 设 为连续函数ƒ(x)的可能极值点, 若当x从 左侧变到右侧时, 变号, 则 为ƒ(x)的极 值点. 若 在 的两侧保号, 则 不是ƒ(x)的极值点, (1)给出定义域,并找出定义域内所给函数的驻点及连续不可导点; (2)考察这些点两侧导函数的符号(方法:特殊取点),从而确定极值点; (3)求出极值点的函数值,即为极值. 解 定义域为 ( , ) − + 3 2 2 2 f x x x x x x x x ( ) 2( 1)( 2) 3( 2) ( 1) ( 1)( 2) (5 7) = − − + − − = − − −
由(x)=0得f(x)的三个驻点x=4,27 x3=2无连续不可导点 这三个点将(+四)分为四个子区间(∞1)(,)(=,22+0 列表讨论如下 x x 0 0 极大值 极小值 无极 f(1)=03)=3125 值 108 故函数有极大值f(1)=0.函数有极小值f()=-3125 例2求函数f(x)=(x-1Nx2的极值 此函数的单调性在例17中已讨论,现重新列表如下:
8 1 2 3 7 ( ) 0 ( ) 1, , 2 . 5 由 得 的三个驻点 无连续不可导点 f x f x x x x = = = = 7 7 (- , ) (- ,1),(1, ),( ,2),(2, ). 5 5 这三个点将 分为四个子区间 + + x 1 2 + 0 – 0 + 0 + ƒ(x) 极大值 ƒ(1)=0 极小值 无极 值 ( ,1) − 7 (1, ) 5 7 5 7 ( , 2) 5 (2, ) + f x ( ) 7 108 ( ) 5 3125 f = − 故函数有极大值ƒ(1) = 0. 函数有极小值 7 108 ( ) . 5 3125 f = − 例22 求函数 的极值. 3 2 f x x x ( ) ( 1) = − 此函数的单调性在例17中已讨论, 现重新列表如下: 列表讨论如下:
f(x)+不存在 极大值0 极小值 3 故函数有极大值f(0)=0.函数有极小值 3/4 当函数在驻点处的二阶导数存在且不为0时,也可用 下面定理来判定f(x)在驻点处取得极大值还是极小值
9 ( , 0) − 2 (0, ) 5 2 5 2 ( , ) 5 x 0 + + 不存在 – 0 + ƒ(x) 极大值0 极小值 f x ( ) 3 3 4 5 25 − 故函数有极大值 ƒ(0) = 0. 函数有极小值 3 2 3 4 ( ) . 5 5 25 f = − 当函数在驻点处的二阶导数存在且不为0时, 也可用 下面定理来判定ƒ(x)在驻点处取得极大值还是极小值
6函数极值的第二充分条件 定理10设函数y=fx)在点x。处的二阶导数存在,若 f(x)=0且f(x)≠0则x是函数f(x的极值点;f(x) 为函数的极值.且 (1当f"(x)>0时,则x为极小值点;f(x)为极小值 (2)当∫"(x)<0时,则x为极大值点f(x)为极大值
10 6.函数极值的第二充分条件 定理10.设函数 y = ƒ(x)在点 处的二阶导数存在, 若 且 则 是函数ƒ(x)的极值点; 为函数的极值. 且 0 x 0 x 0 f x ( ) 0 = 0 f x( ) 0 0 0 (1) ( ) 0 , ; ( ) . 当 时 则 为极小值点 为极小值 f x x f x + – 0 f x ( ) 0 0 0 0 (2) ( ) 0 , ; ( ) . 当 时 则 为极大值点 为极大值 f x x f x