§8.4全微分及其应用 本节研究二元函数在两个自变量都有微小变化时, 函数改变量的变化情况 全微分的概念 如图所示的矩形长和宽为x和y 则其面积为S=xy,是x和y的 函数若边长x和分别取得微小 改变量△和△y,则面积S也相应有一个改变量 △S=(x+△x)(U+Ay)-xy=y△x+x△y+△x△y 而Ax△y(当Ax→0,△y>0时)是比p=√△x)2+(△y2 较高阶的无穷小量,故可将它略去,而用Ax、Ay的线性
1 函数改变量的变化情况. x∆y x y y∆x ∆x∆y 则其面积为S=xy，是x和y的二 ∆S=(x+∆x)(y+∆y)−xy=y∙∆x+x∙∆y+∆x∙∆y 一.全微分的概念 §8.4 全微分及其应用 本节研究二元函数在两个自变量都有微小变化时， 如图所示的矩形长和宽为x和y, 函数.若边长x和y分别取得微小 改变量∆x和∆y，则面积S也相应有一个改变量 而∆x∙∆y 2 2 = + ( ) ( ) x y 较高阶的无穷小量,故可将它略去, (当∆x→0, ∆y→0时)是比 而用∆x 、 ∆y的线性
部分y△x+x近似表示△S,类似于一元函数的微分, 也称它为S的全微分 定义8若函数=(xy)在点(xy)处的全增量 △z=f(x+△x+△y)-f(xy) 可表示为△z=AAx+B△y+o(p) 其中A、B与Ax、无关,)是比P=√)+(4y 较高阶的无穷小量,则称△的线性主部x+BAy是 函数=f(xy)在点(xy)处的全微分,记作d,即 cz=A△x+B△ 此时又称函数z=f(xy)在(xy)处可微
2 定义8 若函数z=ƒ(x,y)在点(x,y)处的全增量 ∆z=ƒ(x+∆x,y+∆y)−ƒ(x,y) 可表示为 ∆z=A∆x+B∆y+o(ρ) 其中A 、 B与∆x 、 ∆y无关,o(ρ)是比 2 2 = + ( ) ( ) x y 较高阶的无穷小量，则称∆z的线性主部A∆x+B∆y是 函数z=ƒ(x,y)在点(x,y)处的全微分，记作dz,即 dz=A∆x+B∆y 此时又称函数z=ƒ(x,y)在(x,y)处可微. 部分y∙∆x+x∙∆y近似表示∆S，类似于一元函数的微分， 也称它为S的全微分
若z=f(xy)在区域D上每一点都可微,则此时又称f在区域 D上可微 定理2若函数z=f(xy)在点(xy)处可微,则函数z=f(xy)在 (xy)处必连续 证因z=f(xy)在点(xy)处可微,则当 P=y(△x)2+(4y)2->0 时,也有△2=A△x+B△y+o(p)→0.从而可得 lim△=lim[f(x+△x,y+y)-f(x,y)]=0 △x→>0 Ay→>0 →limf(x+Ax,y+△y)=f(x,y) A→ 则函数=f(xy)在(xy)处连续
3 定理2 若函数z=ƒ(x,y)在点(x,y)处可微，则函数z=ƒ(x,y)在 ∆z=A∆x+B∆y+o(ρ) →0. 2 2 = + → ( ) ( ) 0 x y 0 0 lim x y z → → = 0 0 lim[ ( , ) ( , )] 0 x y f x x y y f x y → → + + − = 0 0 lim ( , ) ( , ). x y f x x y y f x y → → + + = 则函数z=ƒ(x,y)在(x,y)处连续. 若z=ƒ(x,y)在区域D上每一点都可微,则此时又称ƒ在区域 D上可微. (x,y)处必连续. 证 因z=ƒ(x,y)在点(x,y)处可微，则当 时,也有 从而可得
定理3若函数z=f(xy)在点(xy)处可微,则函数二=f(xy) 在(x,y)处的偏导数必存在,且其全微分为 d=f(x,y)△x+f(x,y)Ay 证因z=f(xy)在点(xy)处可微, 则对点(xy)的某个邻域内的任意一点(x+△xy+△y),均有 △z=AAx+B△y+O(p) 特别地,当Ay=0时即为 f(x+△xy+△y)-f(xy)=A△x+o(|△x|) →lmf(x+△x,y)-f(x,y)=A分f(x,y)=A Ax→>0 同理,令Ax=0,可得/(x,y)=B dz=f(x, y)Ar+f(x, y)Ay
4 定理3 若函数z=ƒ(x,y)在点(x,y)处可微，则函数z=ƒ(x,y) ( , ) ( , ) x y dz f x y x f x y y = + 则对点(x,y)的某个邻域内的任意一点(x+ ∆x,y+∆y),均有 特别地，当∆y=0时即为 0 ( , ) ( , ) lim x f x x y f x y A → x + − = ( , ) x = f x y A , 0, ( , ) . y 同理 令 可得 = = x f x y B ( , ) ( , ) . x y = + dz f x y x f x y y 在(x,y)处的偏导数必存在，且其全微分为 证 因z=ƒ(x,y)在点(x,y)处可微， ∆z=A∆x+B∆y+o(ρ) ƒ(x+∆x,y+∆y)−ƒ(x,y)=A∆x+o(∣∆x∣)
注3对于二元函数z=f(xy),若它的偏导数都存在,但 f(xy)Ax+∫y(x,y)y也不一定是f(xy)的全微分 因此时并不能保证△-[f(xy)Ax+f(x,y)y是P的高 阶无穷小 重要结论:函数z=f(xy)的各偏导数存在仅是全微分 存在的必要条件而非充分条件如例14已证明 2 Xy x2+y2≠0 f(x,y)=x+y +y2=0 的偏导数f(0,0)=0,f(0,0)=0都存在) 但可验证f(x,y)在点(,0)处不可微
5 ( , ) ( , ) 也不一定是ƒ(x,y)的全微分. x y f x y x f x y y + [ ( , ) ( , ) ] x y − + z f x y x f x y y 是ρ的高 重要结论：函数z=ƒ(x,y)的各偏导数存在,仅是全微分 2 2 2 2 2 2 2 0 ( ) 0 0 xy x y f x, y x y x y + = + + = 但可验证 在点 处不可微 f x y ( , ) (0,0) . (0,0) 0 (0,0) 0( ); x y 的偏导数 ， 都存在 f f = = 注3 对于二元函数z=ƒ(x,y),若它的偏导数都存在,但 因此时并不能保证 阶无穷小. 存在的必要条件,而非充分条件.如例14已证明
实际上mL(0.0)Ax+00y f(Ax,4y)-f(0.0)-f(0,0)Ax-f(0,0)y p-→>0 2△x△ △x2+△ 2△x△ =lim Im p→>0 △x→>0 △x2+△1 2k△x 2k△x2 Im ≠0. 0y1+k2)3△x 1+k2)3·Ax →A-[f(xy)Ax+f(xy)A不是的p高阶无穷小
6 0 [ (0,0) (0,0) ] lim x y z f x f y → − + 实际上 0 ( , ) (0,0) (0,0) (0,0) lim x y f x y f f x f y → − − − = 2 2 0 2 lim x y x y → + = 2 2 0 0 2 3 6 2 3 3 2 2 lim lim (1 ) (1 ) x x y kx y kx k x k x k x k x + + → → = = = = + + 0 2 2 3 0 2 lim ( ) x y x y x y → → = + 0. [ ( , ) ( , ) ] x y − + z f x y x f x y y 不是的ρ高阶无穷小
以下定理为全微分存在的充分条件 定理4若函数/(y的偏导数与在点(x)的 某个邻域内存在且在点(xy)处连,则函数z=(xy) 在(xy)处可微,且 z az d=f(x,y)k+fy(x,y)或c=如+的 证因△=f(x+△xy+△y)-f(xy) =[f(x+△x,y)+△y)-f(x,+△y)+[f(xy+△y)-f(xy) 注意两个括号中,前者y+△未变后者x未变:因而皆可视 为一元函数之差而两个偏导数在(x2y)的某个邻域内存 在,故可由 Lagrange中值定理,得
7 则函数z=ƒ(x,y) z z x y 与 以下定理为全微分存在的充分条件： 定理4 若函数z=ƒ(x,y)的偏导数 在点(x,y)的 某个邻域内存在且在点(x,y)处连， 在(x,y)处可微，且 ( , ) ( , ) x y dz f x y dx f x y dy = + . z z dz dx dy x y = + 或 证 因 ∆z=ƒ(x+∆x,y+∆y)−ƒ(x,y) =[ƒ(x+∆x,y+∆y)−ƒ(x,y+∆y)]+[ƒ(x,y+∆y)−ƒ(x,y)] 注意两个括号中,前者y+∆y未变;后者x未变;因而皆可视 为一元函数之差.而两个偏导数在 (x,y)的某个邻域内存 在,故可由Lagrange中值定理，得
Az=f(x+0,Ax, y+ Ay)Ax+f(x,y+B,)Ay 其中0<1<1,0<B2<1 而两个偏导数在(xy)的某个邻域内连续,则 lim f(x+04x,y+Ay=f(x, y) lim f(x,y+0,Ay)=f(x,y) f(x+OAx,y+4y)=f(x,y)+a,其中lima=0 f(x,y+B24y)=f(x,y)+,其中mB=0 Az=f(x, y)Ax+f(x, y)Ay+aAx+ BAy 而0≤ aAx+BAy aAx BAy ≤l+
8 1 2 ( , ) ( , ) x y = + + + + z f x x y y x f x y y y 1 2 其中0 1,0 1. 而两个偏导数在 (x,y)的某个邻域内连续，则 1 0 ( , ) ( , ) , lim 0 x x f x x y y f x y → + + = + = 其中 ； 2 0 ( , ) ( , ) lim 0. y y f x y y f x y → + = + = ，其中 ( , ) ( , ) . x y = + + + z f x y x f x y y x y 1 0 lim ( , ) ( , ), x x f x x y y f x y → + + = 2 0 lim ( , ) ( , ). y y f x y y f x y → + = 0 x y x y + 而 ， + +
→lim aAr+BAy 0 →ax+AAy=0(P) 故函数z=f(xy)在(xy)处可微,且 dz=f(x, y)Ax+f(x, y)ay, 而Ax=dx,4y=dhy,则函数=f(xy)的全微分为 dz=f(x, y)dx+f(x, y)dk. dx+dy 注4在上式中称f(x,y)ax为对x的偏微分,并记为d1x; 称∫(x,y)如为对y的偏微分并记为d-从而二元函数 的全微分等于它的两个偏微分之和,即d=d2+d1
9 + = x y o( ). 故函数z=ƒ(x,y)在(x,y)处可微，且 ( , ) ( , ) x y dz f x y x f x y y = + ， 而∆x=dx, ∆y=dy,则函数z=ƒ(x,y)的全微分为 0 lim 0 x y → + = ( , ) ( , ) x y dz f x y dx f x y dy = + . z z dx dy x y = + 的全微分等于它的两个偏微分之和，即 ( , ) x f x y dx ; x d z ( , ) y f x y dy . y d z . x y dz d z d z = + 注4 在上式中称 为z对x的偏微分,并记为 称 为z对y的偏微分,并记为 从而二元函数
注5此定理并未说明“函数z=f(xy)的偏导数在点(xy) 处不连续,就一定有函数=f(x,y在(xy处不可微” 同学们课后可自行验证 (x' +yin +y2≠0 函数f(x,y) x+y 0 在(0,0)处可微,但偏导数却不连续 解f(00)=1m(x,0)-f(0.0 0; x→>0 x-0 同理∫(0,0)=0
10 注5 此定理并未说明“函数z=ƒ(x,y)的偏导数在点(x,y) 在 处可微， (0,0) 但偏导数却不连续. 处不连续,就一定有函数z=ƒ(x,y)在(x,y)处不可微”. 同学们课后可自行验证 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( )sin , 0 ( ) 0, 0 x y x y f x, y x y x y + + = + + = 函数 (0,0) x 解 f 0 ( ,0) (0,0) lim 0 x 0 f x f → x − = = − ； (0,0) 0. y 同理 f =