§22函数的极限 数列极限是考察数列在n→∞这一过程中的变化 总趋势(即有无极限).而对于函数y=f(x),当考察它的 变化总趋势时,因自变量的连续变化过程有许多情况, 如x→∞,x→-∞,x→0,x-xn,x→x等 如图 x→>(±)∞ y x→+00 x→)0 y=arctan x→>0 0
1 ( ) 0 0 0 x x x x + − → → → → 数列极限是考察数列在n →∞ 这一过程中的变化 总趋势(即有无极限). 而对于函数y=ƒ(x), 当考察它的 变化总趋势时, 因自变量的连续变化过程有许多情况, 如x→∞, x →-∞, x →0, x →x0 + , x→x0 - 等. §2.2函数的极限 1 y x = 如图 y x = arctan o o x x y y 0 x x x → + → − →
yy=e(x→-0,x→)+o) y=ex→-∞→+) y=nx(x→0,x→+2) x→0-,x→)y=0gx 由以上几例可看得出,同一个函数的自变量在不同 的变化过程中,相应的函数变化趋势不一样,因而有必 要分情况考察 x→+∞时函数f(x的极限 1.直观描述:对函数f(∞,当x取正值无限增大时(即x ∞),如果f(x)无限接近某常数A,则称4是函数f(x) 当x→+∞时的极限
2 x y e = ( 0 , ) x x + → → + x y e − = loga y x = (0 1) a o o x x y y x = ln ( , ) x x → − → + ( , ) x x → − → + ( 0 , ) x x → → + + 由以上几例可看得出, 同一个函数的自变量在不同 的变化过程中, 相应的函数变化趋势不一样, 因而有必 要分情况考察. 一· x →＋∞ 时函数ƒ(x)的极限 1.直观描述：对函数ƒ(x), 当x取正值无限增大时(即x →＋∞ ), 如果ƒ(x)无限接近某常数A, 则称A是函数ƒ(x) 当 x →＋∞ 时的极限
由以上几例可看得出,同一个函数的自变量在不 同的变化过程中,相应的函数变化趋势不一样,因而 有必要分情况考察 x-→0时函数f(y)的极限 1·直观描述:对函数f(x),当x取正值无限增大时(即 x→∞),如果f(x)无限接近某常数A,则称A是函数f(x 当x→)∞时的极限 结论1.函数y1x,y= arctan x,y=ex当x→∞时,以某 个确定的常数为极限而y=lx,ye,y=logx却不会与 常数任意接近
3 由以上几例可看得出, 同一个函数的自变量在不 同的变化过程中, 相应的函数变化趋势不一样, 因而 有必要分情况考察. 一· x→∞ 时函数ƒ(x)的极限 1·直观描述：对函数ƒ(x), 当x取正值无限增大时(即 x→∞ ), 如果ƒ(x)无限接近某常数A, 则称A是函数ƒ(x) 当x→∞ 时的极限. 结论1. 函数 y=1/x, y=arctan x, y=e-x 当 x→∞ 时, 以某 个确定的常数为极限.而 y=ln x, y=ex , y=logax 却不会与 常数任意接近
注:函数y=f(x)当x→∞时有极限与数列极限的不同 点在于自变量一个是连续递增的,一个是取自然数递 增的(是函数极限的特殊情形) 仿数列“ε-N定义有 2函数(“eM)定义设函数f(x,当x>a时有定义 对V>3M>0,使得当x>M时,f(x)-4|<恒成立.则 称函数f(x当x0时以A为极限记 im∫(x)=A或f(x)→A(x→+0) x→2100 则有Iim-=0, lim e=0, lim arctan x= x→1o x→+0 x→10
4 注：函数y =ƒ(x)当 x→∞ 时有极限与数列极限的不同 点在于自变量一个是连续递增的, 一个是取自然数递 增的(是函数极限的特殊情形). 2.函数(“ε—M”)定义 设函数ƒ(x),当x>a时有定义. 对 使得当x>M时,|ƒ(x)–A|< ε恒成立. 则 称函数ƒ(x)当 x→∞ 时以A为极限.记 0, 0, M lim ( ) x f x A →+ = 或 f x A x ( ) ( ). → → + 则有 1 lim 0, lim 0, lim arctan . 2 x x x x e x x − →+ →+ →+ = = = 仿数列“ε—N”定义有
几何意义 vE>0,可作两条直线=4-B 及y=A+则总存在区间(M,+∞), 当x∈(M,+∞)时,对应的函数曲A 线介于这两条直线之间 考虑 A-8 y=arctan , y=e y=Inx,y=e,y=log,x 当x→∞时,以什么为极限?极限是否存在?
5 及y =A+ε.则总存在区间(M,+∞) , 当 x→∞ 时, 以什么为极限?极限是否存在? 0, 可作两条直线y=A–ε 几何意义 x M + ( , ) o x y A+ε A A–ε M 考虑 1 , arctan , ; ln , , log x x a y y x y e x y x y e y x − = = = = = = y=ƒ(x) 当 时，对应的函数曲 线介于这两条直线之间
3直观描述:对函数f(x),当x取负值而绝对值无限增 大时(即x→>-∞),如果∫(x无限接近某常数4,则称4是 函数f(x)当x→-∞时的极限 4函数(“M)定义设函数f(x,当x0,3M>0,使得当x<-M时,f(x-A<e 恒成立则称函数f(x当x→-∞时以A为极限 记为imf(x)=A或f(x)→A(x→-∞0) 则有im-=0,lime=0, x→-00 lim arctan= 几何意义如右图
6 3.直观描述: 对函数 ƒ(x), 当x取负值而绝对值无限增 大时(即x→－∞),如果ƒ(x)无限接近某常数A, 则称A是 函数ƒ(x)当x→－∞ 时的极限. 4.函数 (“ε—M”)定义 设函数ƒ(x), 当x<–a时有 定义. 使得当x<–M时,|ƒ(x)–A|< ε 恒成立.则称函数ƒ(x)当x→－∞ 时以A为极限. 0, 0, M lim ( ) x f x A →− 记为 或 = f x A x ( ) ( ). → → − 则有 1 lim 0, lim 0, lim arctan . 2 x x x x e x x →− →− →− = = = − 几何意义如右图. o x y A+ε A–ε A –M y=ƒ(x)
问题:如果既有limf(x)=A又有Iim∫(x)=4 x 是否有mimf(x)=A呢? x→ 定理1函数y=f(x)当x-0时极限存在且为A的充要 条件是函数y=f(x)当x→+∞与x→-0时极限都 存在且等于A,.即 lim f(x)=A+o 5精确定义(“8M”)设函数f(x),当p>a时有定义 对vE>0,M>0,使得当x>M时,|f(y)-41∞) x→0
7 问题：如果既有 lim ( ) x f x A →+ = lim ( ) x f x A →− = lim ( ) x f x A → = 定理1.函数y =ƒ(x)当x→∞ 时极限存在且为A的充要 条件是函数y =ƒ(x)当 x→＋∞ 与 x→－∞ 时极限都 存在且等于A. 即 lim ( ) lim ( ) lim ( ) x x x f x A f x f x A → →+ →− = = = 5.精确定义(“ε—M”) 设函数ƒ(x),当|x|>a时有定义. 对 使得当|x|>M时, |ƒ(x)–A|< ε恒 成立. 则称函数ƒ(x)当 x→∞ 时以A为极限. 记为 0, 0, M lim ( ) ( ) ( ). x f x A f x A x → = → → 或 又有 是否有 呢？
几何意义如右图 =f(x) 例3用“εM”定(1)lim=0; 义证明 (2).limk=0(k>0 x-> x 3).lime=0. x→+o
8 几何意义如右图. o x y A+ε A–ε A –M M y=ƒ(x) 例3 用“ε—M ”定 义证明 1 (1).lim 0; 1 (2). lim 0 ( 0); (3). lim 0. x k x x x x k x e → →+ − →+ = = =
证(1)∵VE>0,要使不等式-0 -即可 E>0取正数M=>0则当x>M时,有-00,要使不等式x-0=k0,取正数M=>0,则当x>M时, 有-00) x→+oy
9 1 1 1 0, 0 , 1 . x x x x − = = 证(1) 要使不等式 只要 即可 1 1 0, 0, 0 1 lim 0. x M x M x x → = − = 取正数 则当 时, 有 恒成立.故由函数极限的定义知 1 1 0, 0 , 1 k k x x x − = k 证(2) 要使不等式 只要 即可. 1 0, 0, 1 0 1 lim 0 ( 0). k k k x M x M x k x →+ = − = 取正数 则当 时, 有 恒成立.故由函数极限的定义知
证(3)∵∨E>0(不妨假设ε-l 即可 VE>0,取正数M=-lnE>0,则当x>M时, 有ex-0<E恒成立故由函数极限的定义 知imex=0. r→10
10 0( 1), 0 , ln x x e e x − − − = − 证(3) 不妨假设 要使 不等式 只要 即可. 0, ln 0, 0 lim 0. x x x M x M e e − − →+ = − − = 取正数 则当 时, 有 恒成立.故由函数极限的定义 知