西南财经大学：《经济数学基础（微积分）》课程教学资源（PPT课件）第三章 函数的导数与微分 第2节 导数的四则运算法则

§32导数的四则运算法则 问题:由导数定义求函数导数,繁!下面推出导数的 运算法则,利用简单函数的导数,便可求出任何初等 函数在其定义域内的导数 定理3设函数f(x)与g(x)在点x处可导,则 1)Jf(x)±g(x)=f(x)±g(x) (2)f(x)·g(x=∫(x)·g(x)+f(x)·g'(x) (3) f(x)1_f(x)·g(x)-f(x),g(x) (g(x)≠0) g(r) g(x)

1 定理3. 设函数 ƒ(x) 与 g(x) 在点 x 处可导, 则 2 (1)[ ( ) ( )] ( ) ( ) (2)[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3) ( ( ) 0) ( ) ( ) f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x f x g x f x g x g x g x g x  =      =  +           −    =    §3.2 导数的四则运算法则 问题：由导数定义求函数导数, 繁!下面推出导数的 运算法则, 利用简单函数的导数,便可求出任何初等 函数在其定义域内的导数

证(1)令y=∫(x)+g(x,则 Δy[f(x+△x)+g(x+△x)-[f(x)+g(x) △ x+A)-f(x)+18(x+A)-g(x △ im今=imf(x+Ax)-f(x) △x→0△x△x→0 △ lim8(x+△x)-g(x) f∫'(x)+g(x) Ax→0 △ 即[f(x)+g(x)=∫(x)+g(x) 同理可证[f(x)-g(x)=f(x)-g(x)

2 (1). ( ) ( ), [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] y f x g x y f x x g x x f x g x x x = +  +  + +  − + =   证 令 则 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] f x x f x g x x g x x x +  − +  − = +   0 0 0 ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) x x x y f x x f x x x g x x g x f x g x x  →  →  →  +  − =   +  − + = +    即 [ ( ) ( )] ( ) ( ). f x g x f x g x + = +    同理可证 [ ( ) ( )] ( ) ( ). f x g x f x g x − = −   

(2)令y=∫(x)·g(x), 则 Δ_∫(x+△x):g(x+△x)-f(x):g(x) f(x+△x)-f(x) g(x+△x)+f(x) g(x+△x)-g(x) 由可导必连续有 △ lim li f(x+△x)-∫(x) img(x+△x) △x→0△x△x→0 △x→0 +/(x)im(x+A)-8(x) △→>0 △x ∫(x)g(x)+∫(x)g(x); 即f(x)·g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)

3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , f x x f x g x x g x g x x f x x x +  − +  − = +  +   0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim lim ( ) ( ) ( ) ( ) lim x x x x y f x x f x g x x x x g x x g x f x x  →  →  →  →  +  − =  +    +  − +   由可导必连续有 = + f x g x f x g x   ( ) ( ) ( ) ( ); 即 [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ). f x g x f x g x f x g x  = +    ( ) ( ) ( ) ( ) y f x x g x x f x g x x x  +   +  −  =   则 (2) ( ) ( ), 令 y f x g x = 

(3)令y= f∫(x) g(x) 奶4y_f(x+△x)·8(x)-f(x)g(x+Ax) △v g(x)g(x+△x)△x lim lil f∫(x+x)-∫(x)·g(x)-f(x)g(x+△x)-g(x) △x→0△x△x→0 g(x)g(x+△x)△x f(c)g(r)-f(x)g(x) g2(x) 推论1 ∑f(x)=∑fx);特别要注意m(x)+C=l(x)

4 ( ) (3) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x y g x y f x x g x f x g x x x g x g x x x =  +   −  +  =  +   令则 0 0 [ ( ) ( )] ( ) ( ) [ ( ) ( )] lim lim ( ) ( ) x x y f x x f x g x f x g x x g x  →  → x g x g x x x  +  −  −  +  − =  +   2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x g x   − = 推论 1 1 1 [ ( )] ( ) ; n n i i i i f x f x = =    = 特别要注意[ ( ) ] ( ). u x C u x + = 

推论2 I(x=f(x)(x)-(x)+1(x)(x):()+…+(x)(x)f(x 特别要注意[Cl(x)=Cu'(x) (3)中的∫(x)=1时, g(x) g(x g2(x) 例5已知 y=x+3mx-3wx+inz-a",求边 d 解 3 =2x+-+sinx 小y 丌3 6 2·-+-+3sin dx 2兀+-+3

5 1 2 1 2 1 2 1 [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). n i n n n i f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x =      = + + + 例5.已知 2 2 100 3ln 3cos sin , 2 x dy y x x x a dx   = = + − + − 求 2 1 ( ) (3) ( ) 1 [ ] ( ) ( ) g x f x g x g x  中的 = = − 时，  特别要注意 [ ( )] ( ). Cu x C u x   = 3 2 3sin dy x x dx x 解 = + + 2 2 3 6 2 3sin 3 2 2 x dy dx        =  + + = + + = 推论2

例6求下列函数的导数 (y=x+log3x (2)∫(x)=xlnx·sinx (3y=tanx (4)y=secx 1-cos x (1)y'=(x3+log3x)=3x2+log3 x (2)f(r=(xInx.sin x) =lnx·sinx+sinx+xlnx·Cosx

6 例6.求下列函数的导数 3 3 (1) log (2) ( ) ln sin (3) tan (4) sec 1 cos (5) 1 y x x f x x x x y x y x x y x = + =  = = − = − (2) '( ) ( ln sin )' f x x x x =  3 3 (1) ' ( log )' y x x = + 2 3 1 3 + log x e x = =  + +  ln sin sin ln cos x x x x x x

∠(3)(tanx sinx(sin x)'cosx-sin x(cos x cosx cos x cosx+sin x sec cos d 同理:(cotx)'=-csc2x (4)(secx)= 1(cos x) sinx =tanr·secr cos cos X cos 同理:(cscx)=- cot x csce (1-cosx)(1-x)-(1-cosx)(1-x) (5)y 1-x) r) t cos x (1-x)2

7 sin (3) (tan ) cos x x x     =     1 (4) (sec ) cos x x     =     2 (1 cos ) (1 ) (1 cos )(1 ) (5) (1 ) x x x x y x − − − − −    = − 2 (sin ) cos sin (cos ) cos x x x x x   − = 2 2 2 2 cos sin sec cos x x x x + = = 2 (cos ) cos x x −  = 2 sin tan sec cos x x x x = =  同理: (csc ) cot csc x x x  = −  2 (1 )sin (1 cos ) . (1 ) x x x x − + − = − 2 同理: (cot ) csc x x  = −

例7设函数f(x) (x-1)(x-2)…(x-n) 求f(1) (x+1)(x+2)…(x+m) 解令8(以)=(x-2)…(x-n) (x+1)(x+2)…(x+n) 从而g(x)在x=1处可导,则∫(x)=(x-1)g(x) →f(x)=(x-1)g(x)=g(x)+(x-1)g(x) →∫(1)=g(1)+0·g(1)=(-1)”1 n(n+ 1) 此例将在讲解复合函数的求导法则之后用对数求导法 来讲解 P993题 令f=1+2x+3x2+…+mx"(x+x2+x2+…+r"≤/x(1-x")

8 例7.设函数 ( 2) ( ) ( ) , ( 1)( 2) ( ) x x n g x x x x n − − = + + + 解 令 ( 1)( 2) ( ) ( ) , (1). ( 1)( 2) ( ) x x x n f x f x x x n − − − =  + + + 求 从而 ( ) 1 ( ) ( 1) ( ) g x x f x x g x 在 = = − 处可导, 则  = − = + − f x x g x g x x g x    ( ) [( 1) ( )] ( ) ( 1) ( ) 1 1 (1) (1) 0 (1) ( 1) . ( 1) n f g g n n −  = +  = −   + 此例将在讲解复合函数的求导法则之后用对数求导法 来讲解. P99.3题 2 1 1 2 3 n f(x) x x nx − 令 = + + + + 2 3 (1 ) ( ) 1 n n x x x x x x x    − = + + + + =     −