在直角坐标系下二重积分的计算的公式有 q2(x) f(x,y)d=ax∫(x,y)y 1(x) D =g(x) v1(y) v2(y) f(x, y)do dy f(x, y)dx Yi(y D
1 b x a x D f x y d dx f x y dy = 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) d y c y D f x y d dy f x y dx = 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) O x D 2 x y = ( ) 1 x y = ( ) y y x y O 2 y x = ( ) 1 y x = ( ) a x b D 在直角坐标系下二重积分的计算的公式有 d c
§9.3二重积分的换元法 在计算定积分时,换元法是一种强有力的方法.在计 算二重积分时,也常用此法特别是二重积分/(x,y)lo 不易计算时,我们也可根据积分区域D的形状和被积函数 f(x,y)的特点,用一个适当的变换 y=y(u, v) 把xy平面内区域D上的二重积分,变成w平面内区域D 上的二重积分,以达到简化二重积分的计算 那么这两个二重积分有何关系呢?
2 §9.3 二重积分的换元法 在计算定积分时, 换元法是一种强有力的方法. 在计 D f x y d ( , ) 不易计算时, 算二重积分时, 也常用此法. 特别是二重积分 ( , ) ( , ) x u v y u v = = 上的二重积分, 以达到简化二重积分的计算. D1 那么这两个二重积分有何关系呢？ 把 xy 平面内区域 D上的二重积分, 变成 uv 平面内区域 ƒ(x, y)的特点, 用一个适当的变换 我们也可根据积分区域D的形状和被积函数
定理2若f(x,y)在xy平面的闭区域D上连续,且变换 x=p(u, v) 满足: y=y(u, v) (1)9,)与v(a,v在w平面的闭区域D上具有一阶连续 偏导数; (2)它将x平面上的区域D一对一地变为uw平面上的区域D (3)在区域D上的雅可比行列式/sO(x,y)≠0, d(u, v) 则在此变换下,二重积分为 ∫(x,y)dd=‖lq(u,"),y(u,v) 0(x,y dudi
3 定理2 若ƒ(x, y)在 xy 平面的闭区域D上连续, 且变换 ( , ) ( , ) x u v y u v = = (1) 与 在 uv 平面的闭区域 D1 上具有一阶连续 (2)它将xy平面上的区域D 一对一地变为uv平面上的区域 D1 ； x y D J u v = 1 ( , ) (3) 0, ( , ) 在区域 上的雅可比行列式 则在此变换下, 二重积分为 偏导数； 1 ( , ) ( , ) [ ( , ), ( , )] ( , ) D D x y f x y dxdy f u v u v dudv u v = 满足： ( , ) u v ( , ) u v
注1雅可比( Jacobi)行列式为x,y对u,w偏导数所 构成的函数行列式记为 ax a J a(x, y)au av a ay ax a a(u, v)ay Oy Ou dy dy Ou au av 注2换元法计算二重积分的关键是根据被积函数 f(x,y)的特点和区域D的形状,构造变换式 注3的实质就是变换前后D与D1的伸缩率或比 例系数).当J>时,SD>Sn;当八<时,SD<S
4 注2 换元法计算二重积分的关键是根据被积函数 1 雅可比 行列式为 对 的偏导数所 (Jacobi x y u,v ) , 构成的函数 行列 注 式. 记为 ƒ(x, y)的特点和区域 D的形状, 构造变换式. 注3 J 的实质就是变换前后D与 D1 的伸缩率(或比 例系数). 1 1 1 , ; 1 , D D D D 当 时 当 时 J S S J S S x y x y u v v u = − x x x y u v J u v y y u v = = ( , ) ( , )
注4若雅可比行列式/只在D内个别点上或一条曲线 上为零而在其他点上为不为零,则换元公式仍然成立 例12计算e+c,其中D是由x轴,y和直线x+y=2 所围成的闭区域 解区域D的图形如右图 令=y-x,v=y+x xty- D 解得变换式 2 x v+u J
5 1 注4 若雅可比行列式 只在 内个别点上或 J D 一条曲线 上为零 而在其他点上为不为零,则换元公式仍然成立 , 12 , , 2 y x y x D e dxdy D x y x y − + + = 例 计算 其中 是由 轴 轴和直线 所围成的闭区域. 解 区域 D 的图形如右图 解得变换式 2 2 v u x v u y − = + = 令 u = y − x, v = y + x x y O D x+ y=2
则xy平面上的闭区域D在平面上的对应区域 D={a,p-pss0svs2,如右图 ax ax 且_o(x,y)non O(u, v)ay ay au av v 故 dxdy auav u-v dv edu (ve )dv O 0 e-已
6 则 xy 平面上的闭区域 D 在 uv 平面上的对应区域 D u v v u v v 1 = − ( , ) ,0 2 , 如右图： x x x y u v J u v y y u v = = ( , ) ( , ) 且 1 1 2 2 1 1 2 2 − = 1 1 2 y x u y x v D D e dxdy e dudv − + = − 故 2 0 1 2 u v v v dv e du − = 2 1 0 1 ( ) 2 e e vdv − = − u v O D1 u=− v v=2 u=v 1 e e− = − 1 2 = − 2 0 1 ( ) 2 v u v v ve dv − =
例13计算由直线x+y=C,x+y=d,y=ax,y=bx (0<c<d,0<a<b所围成闭区域D的面积 解设所求面积为A=t y=bx 作出区域D的图形如右图 x+v=d x+y=c y=ax 二重积分直接化为二次积分较麻烦 现采用换元法.令 uy ν=x+y解得x 1+L 1+L 则xy平面上的闭区域D在u平面上的对应区域 D1={(u,) asus,csv≤t}如下图
7 D A dxdy = 解 设所求面积为 (0 ,0 ) c d a b 所围成闭区域 的面积 D . 二重积分直接化为二次积分较麻烦. 现采用换元法. 令 , 1 1 v uv x y u u = = + + 解得 作出区域 D 的图形如右图 , y u v x y x = = + 例13 计算由直线 x y c x y d y ax y bx + = + = = = , , , D u v a u b c v d 1 = ( , ) , ,如下图 x y O D x+y=c x+y=d y=ax y=bx d c d 则 xy 平面上的闭区域 D 在 uv 平面上的对应区域
则xy平面上的闭区域D在平面上的对应区域 且J=2(x,y)(+/2 1+L d(u, v) 1+l)21+u D (1+u)2 ≠0(u,y)∈D1 b u 故A=dd= uav B(1+n) L n(1+u) 1+ula2 b-a)(d2-c) 2(1+a)(1+b)
8 2 2 1 ( , ) (1 ) 1 ( , ) (1 ) 1 v x y u u J u v v u u u − + + = = + + 且 2 1 0 ( , ) (1 ) v u v D u = − + D A dxdy = 故 1 2 (1 ) D v dudv u = − + 2 (1 ) b d a c du vdv u = + 2 2 ( )( ) 2(1 )(1 ) b a d c a b − − = + + 1 1 2 ( ) ( ) 1 2 b d a c v u = − + O c d a b u v D1 则 xy 平面上的闭区域 D 在 uv 平面上的对应区域
例14计算 (x2+y)d. x+ysI x+y=1 xty D 解作出区域D的图形如右图 x+y=-1 现采用换元法.令 l=x+y,v=x-y解得x u+V y 则xy平面上的闭区域D在平面上的对应区域 D1={a)-1sns1,1s"s},如右图 且J (x,y) D (u,y) 2
9 2 1 ( ) . x y x y dxdy + + 例14 计算 解 作出区域 D 的图形如右图 现采用换元法. 令 , 2 2 解得 u v u v x y + − u x y v x y = + = − , = = D u v u v 1 = − − ( , ) 1 1, 1 1,如右图 x y J u v = = − 1 1 ( , ) 2 2 ( , ) 1 1 2 2 且 x y O D −x+y =1 x+y = −1 x−y =1 x+y =1 O u v 1 1 –1 –1 D1 = − 1 2 则 xy 平面上的闭区域 D 在 uv 平面上的对应区域
u 故 L+1 (x2+y)y=‖()2 (u+v+2uv 2u- 2v)dudy du(u+v+2uv+2u-2v)dv 8 (2n2+4+=)d 8 3 3
10 1 2 2 1 1 ( ) [ ) ] 2 2 2 x y D u v u v x y dxdy dudv + + − + = + − 故 （ 1 1 2 2 = ( 2 2 2 ) 8 D u v uv u v dudv + + + − 1 1 2 2 1 1 1 ( 2 2 2 ) 8 du u v uv u v dv − − = + + + − u u du − = + + 1 2 1 1 2 (2 4 ) 8 3 = 1 3
