§35隐函数的导数 由第一章知:显函数y=f(x),也可写成F(x,y y-f(x)=0.由方程F(x,y=0确定的隐函数可能 有两种情形:y是x的函数y=f(x)或x是p的函 数x=9(y;但并非所有隐函数都可化为一个显函 数如y-ey+x2y2=0 因而有必要研究隐函数的求导方法,下面通过几个例 子来介绍. 例14设方程x2+y2=R2确定函数y=y(,求 解方程两端逐项对x求导(v是x的函数得 2x+2yy=0→y=-(圆周上点(x,y)切线斜率)
1 1 由第一章知: 显函数 y = ƒ(x), 也可写成 F(x, y) = y –ƒ(x) = 0. 由方程 F(x, y) = 0 确定的隐函数可能 有两种情形: y 是x 的函数 y = ƒ(x) 或 x 是 y 的函 数 x = φ(y); 但并非所有隐函数都可化为一个显函 数. 如 因而有必要研究隐函数的求导方法, 下面通过几个例 子来介绍. sin 2 2 0. y y e x y − + = §3.5 隐函数的导数 例14.设方程 x 2+y2=R2 确定函数 y = y(x), 求 . dy dx 解 方程两端逐项对 x 求导(y 是 x 的函数)得 2 2 0 x yy + = ( ( , ) ). x y x y y = − 圆周上点 的切线斜率
例15求曲线y+xe=0在点(O,1)处的切线方程 解方程两端逐项对x求导(ⅴ是x的函数得 y+1-(y+xy)e=0→y ye 1 →y rce 则切线方程为y-1=0·(x-1)即y=1 例16求由方程x3+y32-a=0a是常数)确定的隐函数 y(x)的二阶导数 解方程两端逐项对x求导(y是x的函数并解得 2
1 2 例15 求曲线 y+x-e xy=0 在点(0‚ 1)处的切线方程. 解 方程两端逐项对 x 求导(y 是 x 的函数)得 1 ( ) 0 xy y y xy e + − + = 1 1 xy xy ye y xe − = − 0 1 0 x y y = = = 则切线方程为 1 0 ( 1) 1. y x y − = − = 即 例16.求由方程 x 3 + y3 – a = 0(a 是常数) 确定的隐函数 y(x) 的二阶导数. 解 方程两端逐项对 x 求导(y 是 x 的函数)并解得 2 2 dy x dx y = −
上式两端再对x求导(y是x的函数得 d y y 2x(y+x 下面介绍一个重要的求导方法对数求导法 例 17设y (x-1)(3x+1)(2-x) 求 5 解取已知函数的绝对值的对数,得 x-1|3x+1 ny +In/y=In/x-1+5In(3x+1+3In In/x-5 利用隐函数求导法则,上式两端对x求导得
1 3 2 2 2 2 4 d y xy x yy 2 2 dx y − = − 上式两端再对 x 求导( y 是 x 的函数)得 下面介绍一个重要的求导方法——对数求导法. 例17.设 3 2 ( 1) (3 1) (2 ) , . 5 x x x y y x − + − = − 求 3 3 5 5 2 ( ) 2 . x y x xa y y + = − = − 解 取已知函数的绝对值的对数, 得 2 1 3 3 1 2 1 3 1 2 ln ln 5 x x x y x − + − = − 2 1 1 ln ln 1 ln 3 1 ln 2 ln 5 3 3 2 = − + + + − − − y x x x x 利用隐函数求导法则, , 上式两端对 x求导 得
123 十 yx-133x+132-x2x-5 x-1(3x+1)2(2-x) 13x+13(2-x)2(x-5) §32中的例7∫(x)= x-1)(x-2)…(x-n) 求∫(x)也可 (x+1)x+2)…(x+n) 用此法求解 解n∫(x)=ln(x-1)(x-2)…(x-m)-ln(x+1)(x+2)…(x+n) ln(x-1)+ln(x-2)+…+ln(x-n)-ln(x+1)-ln(x+2)-…-ln(x+n) f∫"(x)1 f(r) x-1 x-2 x-n x+l x+2 x+n f'(x)=f(x)+ … x-n x+1 x+2 x十n
1 4 = − + − + + − − + − + − − + ln( 1) ln( 2) ln( ) ln( 1) ln( 2) ln( ) x x x n x x x n §3.2中的例7 也可 用此法求解. ( 1)( 2) ( ) ( ) , ( ). ( 1)( 2) ( ) x x x n f x f x x x x n − − − = + + + 求 1 2 3 1 1 1 1 1 3 3 1 3 2 2 5 y y x x x x − = + + − − + − − 3 2 1 2 1 1 ( 1) (3 1) (2 ) [ ] 1 3 1 3(2 ) 2( 5) 5 x x x y x x x x x − + − = + − − − + − − − 解 ln ( ) ln[( 1)( 2) ( )] ln[( 1)( 2) ( )] f x x x x n x x x n = − − − − + + + '( ) 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 2 1 2 f x f x x x x n x x x n = + + + − − − − − − − + + + 1 1 1 1 1 1 '( ) ( )[ ] 1 2 1 2 f x f x x x x n x x x n = + + + − − − − − − − + + +
定义6.称形如y=[f(x)(x)这样的函数为幂指函 数下面来研究幂指函数的求导方法 例18.求幂指函数y=(tanx)3的导数 解一:一个显函数.如 利用隐函数求导法则两端对x求导,得 In y=In(tan x)=xIn(tan x)=x(Insin x-In cos x) cosx sinx Insin x-In cosx+x( +-=In x+xcotx+xtanx sInr cosx y'=(tan x) (In x+cot x+x tan x)
1 5 定义6. 称形如 这样的函数为幂指函 数.下面来研究幂指函数的求导方法. ( ) [ ( )]g x y f x = 例18. 求幂指函数 y x = (tan )x 的导数 解一: 一个显函数. 如 利用隐函数求导法则, , 两端对x求导 得 ln ln(tan ) ln(tan ) (lnsin lncos ) x y x x x x x x = = = − cos sin lnsin lncos ( ) ln tan cot tan sin cos y x x x x x x x x x x y x x = − + + = + + (tan ) (lntan cot tan ) x y x x x x x x = + +
解 y=(tanx)=e In(tanx s orIntan x er(nsinx-Incos x) 利用复合函数求导法则,得 =(e x(nsinx-Incosx) e r(unsinx-lincosx )x(In sin x-In cos x)I (tan x)(rcot x+x tan x+In tan x) 上述利用对数性质及隐函数求导法则来简化导数 计算的方法,称为对数求导法.这种方法适用于幂 指函数和一些连乘连除式子的求导
1 6 ln(tan ) lntan (lnsin lncos ) (tan ) x x x x x x x x y x e e e − = = = = 上述利用对数性质及隐函数求导法则来简化导数 计算的方法, 称为对数求导法. 这种方法适用于幂 指函数和一些连乘连除式子的求导. 解二: (lnsin lncos ) ( ) x x x y e − = (tan ) ( cot tan lntan ) x = + + x x x x x x (lnsin lncos )[ (lnsin lncos )] x x x e x x x − = − 利用复合函数求导法则, 得
