872、正项级数 正项级数的概念 定义3若数项级数∑中的各项un≥0n=1,2, 则称此级数为正项级数 1+(-1)"- 例如 -=1+0+1+0+ 2 n=1 注1不少级数的敛散性问题都可归结为它的敛散性问 题请同学们务必掌握好其敛散性的判别法。 注2因为对任意n∈N均有各项v≥0则有 S =S+ n+1 于是正项级数的部分和是一个单增数列{sn}
1 则称此级数为正项级数。 1 n中的 n u = 1 1 1 1 1 ( 1) , 1 0 1 0 2 例如 n n n n − = = + − = + + + + 注1 不少级数的敛散性问题都可归结为它的敛散性问 题.请同学们务必掌握好其敛散性的判别法。 §7.2 正项级数 一.正项级数的概念 定义3 若数项级数 0( 1,2, ), 各项 u n n = 注2 因为对任意 n N 均有各项 0 un S S u n n n + + 1 1 = + 则有 于是正项级数的部分和是一个单増数列 . Sn
定理6正项级数∑un收敛的充要条件是部分和序列 {n有上界。 证“→”有单调有界准则知极限 lim s存在, 从而正项级数收敛 ”若∑4n收敛,则mS存在, H=1 由极限存在准则知,S有界,从而S,有上界 其等价命题是 “若S无上界,则 lim s=+∞,从而正项级数发散。 下面利用此定理导出正项级数是否收敛的几个判别法
2 定理6 正项级数 收敛的充要条件是部分和序列 有上界。 1 n n u = Sn 证 “⇒”有单调有界准则知极限 存在， “⇒”若 收敛, 则 存在, lim n n S → Sn 其等价命题是 lim , n n S → = + 下面利用此定理导出正项级数是否收敛的几个判别法。 从而正项级数收敛. 1 n n u = 由极限存在准则知, lim n n S → Sn 有界, 从而 有上界。 “若 Sn 无上界, 则 从而正项级数发散
定理7(比较判别法)设两个正项级数∑u及∑ H=1 的对应项满足:Ln≤cvn(n=1,2,…,C> 则(1)当级数∑收敛时,级数∑un也收敛; (大收小收) (2)当级数∑un发散时级数∑"也发散 H=1 n-=1 (小发大发) 证设∑"∑部分和分别是Sn,, 因Ln≤cvn(n=1,2,…,c>0) 于是,S=4+2+…+n≤ c(v1+v2+…+vn
3 定理7 (比较判别法) 设两个正项级数 的对应项满足: 1 1 n n n n u v = = 及 ( 1,2, , 0) u cv n c n n = 则 (1)当级数 收敛时, 级数 也收敛; 1 n n v = 1 n n u = （大收小收） (2)当级数 1 n n u = 发散时, 级数 1 n n v = 也发散。 （小发大发） 证 设 1 n n v = 1 , n n u = 部分和分别是 , , S Tn n ( 1,2, , 0) 因 u cv n c n n = 1 2 1 2 , ( ) 于是 S u u u c v v v cT n n n n = + + + + + + =
则(1)当级数∑v收敛时,工有上界,那么S也有界。 故级数∑",收敛。 (2)当级数∑un发散时,imS=+∞于是im=+0 故级数∑发散。 注3因级数增加或去掉有限项不影响它的敛散性。故 定理中的不等式不一定从首项就开始面满足。 注4当级数∑发散时不一定有级数∑发散。 例 n(n+1) n 但∑发散,而 收敛 n=1 n n(n+1)
4 则 (1)当级数 1 n n v = 收敛时, T n 有上界, 那么S 也有界。 n 故级数 1 n n u = 收敛。 (2)当级数 1 n n u = 发散时, lim , n n S → = + lim n n T → 于是 = + 故级数 1 n n v = 发散。 注3 因级数增加或去掉有限项不影响它的敛散性。故 定理中的不等式不一定从首项就开始面满足。 注4 当级数 1 n n v = 发散时,不一定有级数 1 n n u = 2 1 1 1 1 1 , ( 1) n n n n n n = + 例 但 发散，而 1 1 n n n( 1) = + 发散。 收敛
例6判定级数125g32n2的敛散性 元 解1因2$33 < 丌( 而xy收敛则∑2smgx收敛 H=1 2因 n·2n2n 而∑,收敛,则∑ 收敛。 H=1 Gin. 2 挂出挂由
5 例6 判定级数 1 1 1 1. 2 sin ; 2. 3 2 n n n n n n = = 的敛散性. 2 1. 2 sin ( ) 3 3 n n n 解 因 1 1 2. 2 2 n n n 因 1 2 sin 3 n n n = 1 2 ( ) 3 n n = 而 收敛, 则 收敛; 1 1 2 n n n = 1 1 2 n n = 而 收敛, 则 收敛
例7判定级数∑=1+,+… (P>0) 的敛散性。 解()当y1时,因为m≤有 n 由于1 发散,则∑二发散。 n (2)当p≤1时,设n-1≤x≤n(n≥2,有 11 0< d dx P 1) 令u 的部分和是S P-1(n-1)n -11且∑u
6 例7 判定p级数 1 1 1 1 1 ( 0) 2 p p p n p n n = = + + + + 1 1 n n = 由于 的敛散性。 解 (1)当 p≤1 时, 因为 p n n ， 1 1 , p n n 有 1 1 p n n = 发散, 则 发散。 (2)当 p≤1 时, 设 n x n n − 1 2 , （ ）有 1 1 p p n x 1 1 n n 1 1 p p n n dx dx − − n x 1 0 p n = 1 1 1 1 1 [ ] 1 ( 1) p p p n n − − = − − − 1 1 2 1 1 1 [ ] , 1 ( 1) n n n p p n u u S p n n − − = = − − − 令 且 的部分和是
S 1-2 0P-1 … n 3 1p) (n+1) P-1(n+1) 于是 lim s=im-,[ n1→0 n→0 P (n+1)2p-1 故∑n收敛,则∑收敛。 H=2 n=1 重要结论:p级数∑在当p>1时收敛; H=1 当p≤1时发散
7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [(1 ) ( ) ( )] 1 2 2 3 ( 1) n p p p p p S p n n − − − − − = − + − + + − − + 1 1 1 [1 ] 1 ( 1) p p n − = − − + 1 1 1 lim lim [1 ] 1 ( 1) n p n n S p n → → − = − − + 于是 2 n n u = 故 收敛, 则 1 1 p n n = 收敛。 1 p 1 = − 重要结论: p级数 在当 p>1时收敛; 1 1 p n n = 当 p≤1 时发散
例1判定级数()2m+(2-m 的敛散性。 解(因1 m(n+1)Vn+1n+1)n+1 而∑;发散,则∑ n+1 n√m(n+ +)发散。 (2因n3-10n>(m-1)3(m≥5)→ √m3-10n(n-1) 而∑,收敛,则∑_收敛。 2(n n=4
8 例8 判定级数 3 1 4 1 1 (1). ; (2). n n n n( 1) n n 10 = = + − 1 1 1 (1) n n n n ( 1) ( 1)( 1) n 1 = + + + + 解 因 3 3 2 1 1 n n 10 ( 1) n − − 3 2 2 1 n ( 1) n = − 而 3 4 1 n n n 10 = − 的敛散性。 1 1 n n 1 = + 而 发散, 则 1 1 n n n( 1) = + 发散。 收敛, 则 收敛。 3 3 (2) 10 ( 1) ( 5) 因 n n n n − −
定理8(比较判别法的极限形式) 若两个正项级数∑un及∑vn满足:Iimn=k, n=1 oo v (y当0N n→) 2 有-k<台0 3k 2 2 3 于是v<u< 2 则级数∑u和∑v同敛散 2
9 定理8 (比较判别法的极限形式) 1 1 n n n n u v = = 及 lim , n n n u k → v = , , 2 k = N n N 使得 若两个正项级数 满足: (1)当0<k<+∞时, 级数 1 1 n n n n u v = = 和 同敛散; (2)当k= 0且级数 1 n n v = 也收敛; 1 n n u = 收敛时, 级数 (3)当k= +∞且级数 也发散. 1 n n v = 发散时, 级数 1 n n u = 3 0 2 2 2 n n n n u u k k k k v v 有 − (1) lim , n n n u k → v 证 由 = 则对于 3 , 2 2 n n n k k 于是 v u v 1 1 n n n n u v = = 则级数 和 同敛散;
推论若正项级数∑u和∑v的通项un与vn为同阶 n=1 或等价无穷小量,则∑和∑v同敛散 H=1 注5在使用比较判别法的极限形式时首先观察级数 的一般项u是否趋向于0若Ln→0(m→∞那么就看n 是y的多少阶无穷小 如例8中的两个级数(∑ (2 ∑ a、mn+1)“haVm2-1 10n 有()~n n(n+1) →0(n→∞),而in +1) n→0 n1→0 (n+1) n
10 0( ) un u n n → → ， un 1 p n 推论 若正项级数 1 1 n n n n u v = = 和 的 通项 u v n n 与 或等价无穷小量, 则 1 1 n n n n u v = = 和 同敛散. 注5 在使用比较判别法的极限形式时,首先观察级数 如例8中的两个级数 3 1 4 1 1 (1) ,(2) n n n n( 1) n n 10 = = + − 1 (1) 0( ), ( 1) n n n → → + 有 1 ( 1) lim lim 1 1 ( 1) n n n n n n n n → → + = = + 而 为同阶 是 的多少阶无穷小. 的一般项 是否趋向于0,若 那么就看