§33反函数和复合函数的求导法则 一反函数的求导法则 定理4.设函数y=f(x)在x的某领域内连续且严格单 调,y=∫(x)在x处可导,且f(x)≠0.则y=f(x)的反 函数x=p(y在y处可导,且 p(y)=1或r p(y) 证明设x=q(y)在点y的改变量是4y≠O 则4x=(y+4y)-90),y=f(x+4x)-f(ax)
1 定理4. 设函数y =ƒ(x)在 x 的某领域内连续且严格单 调, y =ƒ(x) 在 x 处可导, 且 f′(x)≠0. 则 y=ƒ(x)的反 函数 x=φ(y) 在 y 处可导,且 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) y f x f x y = = 或 §3.3 反函数和复合函数的求导法则 一.反函数的求导法则 证明 设x = φ(y) 在点 y 的改变量是 Δy ≠ 0. 则 Δx = φ( y + Δ y ) – φ(y) , Δy = ƒ( x + Δ x ) – ƒ(x)
由y=f(x)的连续性和单调性及第二章定理14知:反 函数qy)也连续和单调则当y≠0时有Ax≠0 △y△ 当Δy→>0时,必有△x->0 △x 再由y=f(x)的可导性,则 △v p(y)=lim lim 0△1 △yf(x) △v 而∫(x)≠0,则p(y)≠0→f(1 (y)
2 由 y = ƒ(x) 的连续性和单调性及第二章定理14知: 反 函数φ(y)也连续和单调.则当Δ y ≠ 0 时,有 Δx ≠ 0 1 , x y y x = 当 0 0 → → y x 时，必有 再由 y = ƒ(x) 的可导性, 则 0 0 1 1 ( ) lim lim ( ) y x x y y f x y x → → = = = 1 ( ) 0, ( ) 0 ( ) . ( ) f x y f x y = 而 则
例8.求函数y=a(a>O,a+刀)的导数 解(a2) (og,y y'IyIna =a" Ina 特别地(e)=e 例9.求下列函数的导数 y= arc sin x (2)y=arc cosx )y=arc tan x (4)y=arc cotx (1)解y= arcsin x(-1<x<1)的反函数是 x=sinyi(2 <y< arc sinx sin y) cosy 1-sin2y VI- (-1<x<1 即( arc sinx)= (-1<x<1) 2
3 例8. 求函数 y = ax (a>0, a≠1) 的导数. 1 ln 1 1 ( ) ln ln . (log ) x x a y a a y a a a y = = = = 解 例9. 求下列函数的导数. (1) y = arc sin x (2) y = arc cos x (3) y = arc tan x (4) y = arc cot x (1) arcsin ( 1 1) sin ( ) 2 2 y x x x y y = − = − 解 的反函数是 ( ) . x x 特别地 e e = 1 1 ( sin ) (sin ) cos arc x y y = = 2 1 ( sin ) ( 1 1). 1 arc x x x = − − 即 2 2 1 1 ( 1 1) 1 sin 1 x y x = = − − −
同理:( arc cos x)= 1(-1<x<1 ( 3(arc tan x) (tan y) sec y 1+tany 1+x 同理( arc cotx) 1+x
4 1 (3)( tan ) (tan ) arc x y = 2 2 2 1 1 1 sec 1 tan 1 y y x = = = + + 2 1 ( cot ) . 1 arc x x = − + 同理 2 1 ( cos ) ( 1 1) 1 arc x x x = − − − 同理:
二复合函数的求导法则 定理5.如果函数u=q(x在点x可导,y=f(l)在对 应的点u处可导则复合函数y=f[q(对在点x处也可 导,且其导数为{fp(x)}=f(u)·g'(x) 即 dy dy du dx du dx 或J=y2(函数对中,中对自) 证明设x取得改变量Ax,中间变量u有相应△ →函数y有相应△y. 则当△≠0时有4=2.M △△r 由u=p(x)可导则必连续→当△x→>0时△→>0
5 定理5. 如果函数u = φ(x)在点x处可导, y=ƒ(u)在对 应的点u 处可导,则复合函数 y=ƒ[φ(x)] 在点 x 处也可 导, 且其导数为 { [ ( )]}' ( ) ( ) f x f u x = 证明 设 , x x u u 取得改变量 中间变量 有相应 二.复合函数的求导法则 dy dy du dx du dx 即 = x u x 或 y y u = (函数对中,中对自) 函数 . y y 有相应 u 0 , . y y u x u x = 则当 时 有 ( ) 0 0 由 u x x u = → → 可导则必连续 当 时
im今y=im △ △x0△xM0△nAx→0△r、f"()(x) lim 则复合函数y=∫p(x)在点x处可导且 Uf|gp(x)}'=f(n)q(x).而当△=0时,u=g(x) 为常数→@(x)=0→f()p(x)=0.而fp(x) f(c)为常数,从而{|y(x)}'=0 注1:y与y是不同的 注2:复合函数求导的关键在于要正确地设出“中 间变量”(会分解)
6 0 0 0 lim lim lim ( ) ( ) x u x y y u f u x x u x → → → = = [ ( )] { [ ( )]}' ( ) ( ). 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0. [ ( )] ( ) , { [ ( )]}' 0. y f x x f x f u x u u x x f u x f x f c f x = = = = = = = = 则复合函数 在点 处可导且 而当 时， 为常数 而 为常数 从而 注1: . x u y y 与 是不同的 注2: 复合函数求导的关键在于要正确地设出“中 间变量”(会分解)
例10设y=(2x2+5),求 中y 解y=(2x2+5)可看成由y=3,u=2x2+5复合而成的 则 dy dy du 5n4·4x=20nxl回代20x(2x2+5 d x du dx 求下列函数的导数 (1)y=cos x f y=(cos x)'=2cosx( cos x) 2cosx·sinx=sin2x (2)y=e tanx 解y'=(em)=em(tanx) =sec2 xefan.x (3)y=arcsin 2 Af y'=(arcsinx) 2x
7 例10.设 2 5 (2 5) . dy y x dx = + ，求 2 5 5 2 解 (2 5) , 2 5 . y x y u u x = + = = + 可看成由 复合而成的 求下列函数的导数 4 5 4 dy dy du u x dx du dx 则 = = = 4 20 u x u 回代 2 4 20 (2 5) x x + 2 (1) cos y x = 2 解 ' (cos )' 2cos (cos )' y x x x = = tan tan ' ( )' (tan )' x x 解 y e e x = = 2 2 4 1 ' ( sin )' ( )' 1 y arc x x x = = − (3) sin y arc x = 2解 tan (2) x y e = = = 2cos sin sin2 x x x 2 tan sec x = x e 4 2 1 x x = −
(4)y=lnx(x≠0) 解当x0时y=(my=21;即(uxy=1 (5)y=x“(a∈R) 解 ∵x= , aInx.(x)=(e=em(aInx) x"·C a (6)y=tan 解y=(tan-)=sec-() sec
8 解 0 , [ln( )]' 当 x y x = − = 时 1 0 , (ln ) ; x y x x 当 = = 时 1 (ln ) . x x 即 = ln ln x x x e e 解 = = ln ln ( ) ( ) ( ln ) x x x e e x = = (4) ln ( 0) y x x = (5) ( ) y x R = 1 1 x x x − = = 1 1 x x − = − 1 (6) tan y x = 1 1 1 y' (tan )' sec ( )' x x x 解 = = 2 1 1 sec x x = −
(7)y=Ⅵ1-x2解y=(√-x)y 2√1-x2Ⅵ1 x-e 1+ (8)y 解y=(√x-ex) 2√x-e (9)y= 解y'=( x'√+x2-x(Vl+x2) 1+x 1+x 1+x √1+ 1 (1+x2)2 (10)y= In sin√ x解y=(ni√x)y=(sinx) sIn√x coS√x cot sIn√x
9 2 (7) 1 y x = − 2 2 2 (1 )' ' ( 1 )' 2 1 x y x x − = − = − 解 (8) x y x e− = − ( )' ' ( )' 2 x x x x e y x e x e − − − − = − = − 解 2 (9) 1 x y x = + 2 2 2 2 ' 1 ( 1 )' ' ( )' 1 1 x x x x x y x x + − + = = + + 解 2 2 2 2 3 2 2 1 1 1 1 (1 ) x x x x x + − + = = + + (10) lnsin y x = (sin )' ' (lnsin )' sin x y x x 解 = = cos ( )' sin x x x = 1 cot 2 x x = 1 2 x x e x e − − + = − 2 1 x x − = −
()py=m(x+√1+x2 ≈(t+ 1+x2) 解y'=[n(x+1+x x+√1+x2 1+ 1+(1+x2)√1+x2 x++x2x+√+x2Ⅵ1+x2 例11.设f可导,求()y=f(e2+x2),(2)y=a( 的导数 Af (1),=fle +x) (e+r y =(e+)(e+x) d (2)y=naf2(x)=2f(x)f(x)a(x)lna
10 例11. 设ƒ可导, 求 的导数 2 ( ) (1) ( ), (2) x e f x y f e x y a = + = (1) ( ) ( ) dy x e x e f e x e x dx 解 = + + 1 ( ) ( ) x e x e e ex f e x − = + + 2 ( ) 2 (2) ln [ ( )] f x y a a f x = 2 ( ) 2 ( ) ( ) ln f x = f x f x a a 2 (11) ln( y x x = + +1 ). 2 2 2 ( 1 )' ' [ln( 1 )]' 1 x x y x x x x + + = + + = + + 解 2 2 1 ( 1 )' 1 x x x + + = + + 2 2 1 1 1 x x x x + + = + + 2 1 1 x = +