§36函数的微分 讨论导数,即讨论im2的极限是否存在,而不 △x→0△v 是研究改变量本身.实践中,我们关心的是:当 自变量x有微小改变量x时,函数p相应的改变量 y与Ax有何关系,大小又如何? 先看一个实际例子:正方形的边长由x变到x+Ax 时,其面积改变多少?由S=x2知: △S=S(x+△x)-S(x)=(x+△x)2-x2=2△x+(△x)2
1 讨论导数, 即讨论 的极限是否存在, 而不 是研究改变量本身. 实践中, 我们关心的是: 当 自变量 x 有微小改变量Δx 时, 函数 y 相应的改变量 Δy 与 Δx 有何关系, 大小又如何？ 0 lim x y → x §3.6 函数的微分 先看一个实际例子: 正方形的边长由 x 变到 x+Δx 时, 其面积改变多少？由 S = x2 知: 2 2 2 = + − = + − = + S S x x S x x x x x x x ( ) ( ) ( ) 2 ( )
显然AS分成两部分:24x和(4x)2.而2x4x是x的 线性函数x)2是当Ax→0时比4x高阶的无穷小, 即(x)2=o(Ax) 由此可见:当Ax→0时,x)2比2x4x小得多,几 乎可忽略不计,从而用2xx近似代替AS几乎可 忽略不计,从而用2κx近似代替AS.,并且把2cx叫 做正方形面积S=x2的微分
2 x 2 S x = xΔx } Δx 2 x 显然ΔS分成两部分: 2xΔx和(Δx)2 . 而 2xΔx 是Δx 的 线性函数, (Δx)2 是当 Δx→0 时比 Δx 高阶的无穷小, 即 (Δx)2 = o(Δx). 由此可见: 当 Δx→0 时, (Δx)2 比 2xΔx 小得多,几 乎可忽略不计; 从而用 2xΔx 近似代替ΔS.几乎可 忽略不计; 从而用 2xΔx 近似代替ΔS.并且把2xΔx 叫 做正方形面积 S = x2 的微分. xΔx
微分的概念 定义7设函数y=(x)在x的某邻域内有定义,且当自 变量有增量Ax时,如果函数的增量4可表为 1y=A4x +o(x) 其中A是不依赖于4x的常数.则称f(x)在点x处可 微;称△的线性(当A≠0时称为线性主要)部分AAx为 函数y=f(x)在点x的微分.记为 df=az 问题:y=∫(x)在什么条件下才可微呢?A与∫(④x)有何关 系呢? 定理6.函数y=f(x)在点ⅹ处可微的充要条件是y=f(x) 在点x处可导,且A=f(x,从而有d=f(xx
3 其中 A 是不依赖于Δx 的常数. 则称 ƒ(x) 在点 x 处可 微;称Δy的线性(当 A ≠ 0 时称为线性主要)部分 AΔx 为 函数 y = ƒ(x) 在点x处的微分. 记为 定理6. 函数 y = ƒ(x)在点 x 处可微的充要条件是 y = ƒ(x) 在点 x 处可导, 且 A = f′(x), 从而有 dy = f′(x)Δx 定义7.设函数 y =ƒ(x) 在 x 的某邻域内有定义, 且当自 变量有增量 Δx 时, 如果函数的增量 Δy 可表为 Δy = AΔx + o(Δx) d y = dƒ = AΔx 问题 : y = ƒ(x)在什么条件下才可微呢？A与ƒ(x)有何关 系呢？ 一.微分的概念
证"→"∵y=f(x)在点x可微∴y=AAx+(Ax) Ar1+O(△x) f(x)=m、△=A中=f(x) △v △ △x→>0△ Ef(x)=lim y f lim a-f(x=0 0△ △r→0 △r f(x)是一个关于△x的无穷小量 △ 设 4t~∫"(x)=B(△x)(△x→0,B(△x)→0 则y=∫(x)△x+B(△x),Ax=f(x)x+o(△x) ∴y=∫(x)在x处可微 结论1函数的可微性与可导性等价.即可微必可导, 可导必可微
4 证 " " ( ) =y f x x 在点 可微 = + y A x o x ( ) y o x ( ) A x x = + 0 ( ) lim x y f x A → x = = dy f x x = ( ) 0 " " ( ) lim x y f x → x = ( ) y f x x x − 是一个关于 的无穷小量 0 lim[ ( )] 0 x y f x → x − = 有 ( ) ( ) ( 0, ( ) 0) y f x x x x x − = → → 设 =y f x x ( ) 在 处可微. 则 ( ) ( ) ( ) ( ) = + = + y f x x x x f x x o x 结论1 函数的可微性与可导性等价. 即可微必可导, 可导必可微
结论2若y=f(x)=x,则中=t=∫(x)Ax=(x)Ax=△x 从而y=f(x)的微分又可记为h=f(x)→=∫(x) d x 因而导数也称为微商. 结论3求函数的微分,可先求出函数的导数,再乘 以dx便可得函数的微分求导数与求微分的方法都叫 做微分法 例19求函数y=3 arctan (1)在x处的微分;(2)4x=001时的微分; (3)当x由2变到201时的微分 解(1)∵y=H的s、3mh 3 1+x 3dx 0.03 (2)d △r=0.01 1+x 2△x=0.01 1+x
5 结论2 若 y =ƒ(x) = x, 则 dy dx f x x x x x = = = = ( ) ( ) ( ) ( ). dy dy f x dx f x dx = = 结论3 求函数的微分, 可先求出函数的导数, 再乘 以dx便可得函数的微分.求导数与求微分的方法都叫 做微分法. 从而 y =ƒ(x) 的微分又可记为 因而导数也称为微商. 例19. 求函数 y = 3arctan x (1) 在 x 处的微分; (2) Δ x = 0.01时的微分; (3) 当 x 由 2 变到 2.01 时的微分. 2 3 (1) 1 y x = + 0.01 0.01 2 2 3 0.03 (2) 1 1 x x dx dy x x = = = = + + 解 2 3 1 dx dy x = +
3dx 0.03 (3)dx=2 0.006 1+x △v=0.01 △v=0.01 例20求函数y=5")的微分 解∵y'=5mmIn5ln(tanx 5n(tanx)In5 cot x. sec2x ∴小y=5mx)ln5 cot x sec2xh
6 2 2 2 0.01 0.01 3 (3) 1 x x x x dx dy x = = = = = + 例20.求函数 的微分. ln(tan ) 5 x y = 解 ln(tan ) ln(tan ) 2 5 ln5 [ln(tan )] 5 ln5 cot sec x x y x x x = = 0.03 0.006 5 = = ln(tan ) 2 5 ln5 cot sec x = dy x xdx
微分的几何意义 曲线y=f(x在点M的横坐标x有一个 改变量Δx时,MN=dx,PN=△y, NK=MN tan a =f()dx= dy 则相应的微分就是曲线过点 M的切线的纵坐标的相应增量 (,y/ .:. 当4x很小时,y-=PK比 x小得多.故当x→0时,可“以xa x+△x 直代曲”—总可以用切线段MK 去代替曲线弧MP,用NK=d去近似 代替NP=A
7 } 曲线y = ƒ(x) 在点 M 的横坐标 x 有一个 改变量Δx时, MN = dx, PN = Δy, o x y y =ƒ(x) } K (x,y)M (x+Δx , y+Δy) P x x+Δx dy N { Δy ›α ›α = = f x dx dy ( ) 二.微分的几何意义 当|Δx|很小时, |Δy – dy |=PK 比 |Δx|小得多. 故当|Δx|→0时, 可“以 直代曲”——总可以用切线段 MK 去代替曲线弧 MP, 用NK = dy 去近似 代替NP =Δy. NK = MN tan α 则相应的微分 dy 就是曲线过点 M 的切线的纵坐标的相应增量
需要强调的一点是:根据函数增量与微分的关系可用微 分来作近似计算.即 ∫(x+△x)-f(x)=≈d=∫(x)△x(△x→0) 注由导数与微分的关系知,有一个导数公式就有一个 相应的微分公式 三基本初等函数的微分公式 dc=o d x= ax dx d logx d x dInx=-dx xIn a da=a ln adx d e=e dx d sinx= cos xdx dcosx =-sin xdx d tan x=sec xdx d cotx=-csc xdx d secx= sec tan xdx d esc x=-csc x cot xdx
8 需要强调的一点是: 根据函数增量与微分的关系可用微 分来作近似计算. 即 f x x f x y dy f x x x ( ) ( ) ( ) ( 0) + − = = → 注 由导数与微分的关系知, 有一个导数公式就有一个 相应的微分公式. 三.基本初等函数的微分公式 1 2 0 1 1 log ln ln ln sin cos cos sin tan sec a x x x x dC dx x dx d x dx d x dx x a x da a adx de e dx d x xdx d x xdx d x xdx − = = = = = = = = − = 2 cot csc sec sec tan csc csc cot d x xdx d x x xdx d x x xdx = − = = −
darc sinx dx darc cos x darc tanx= darc cotx 1+x 1+x 四微分的四则运算 设函数u(x)与vx)在点x处可微,则 (d(u +v=du t dv (2 d(u'v=vdu tudv vdu-udv (3)d() (v(x)≠0) p 五复合函数的微分法则 设y=f()与u=p(x)都可微则复合函数y=f|lp(x) 的微分为 小s19(x)dx=fp(x)p(xh
9 (1) d(u ± v) = du ± dv (2) d(u·v) = vdu +udv 2 (3) ( ) ( ( ) 0) u vdu udv d v x v v − = 设 y = ƒ(u)与 u = φ(x) 都可微则复合函数 y =ƒ[φ(x)] 的微分为 2 2 2 2 1 1 sin cos 1 1 1 1 tan cot 1 1 darc x dx darc x dx x x darc x dx darc x dx x x = = − − − = = − + + 四.微分的四则运算 设函数 u(x) 与 v(x) 在点 x 处可微, 则 五.复合函数的微分法则 [ ( )] [ ( )] ( ) df x dy dx f x x dx dx = =
而u=9(x),则a=(x)kx从而dy=f(n)dm 结论无论u是自变量还是自变量的可微函数,微分 形式小=∫u)Ⅷ都保持不变,微分的这一性质称为微 分形式不变性 例21求下列函数的微分 D)y=In(1-sin x); 3 y=e cos 2x. 解(1)小=dlm1-sinx2) d(1-sin x) 1-sinx (-cosx)d x2 -2x cos xz 1-sinx 1-sinx (2)dy=cos 2xde+e d cos 2x -e (3 cos 2x+ 2sin 2x)dc
10 du x dx = ( ) . dy f u du = ( ) . 结论 无论 u 是自变量还是自变量的可微函数, 微分 形式 dy = f′(u)du 都保持不变, 微分的这一性质称为微 分形式不变性. 例21.求下列函数的微分 2 3 (1) ln(1 sin ); (2) cos2 . x y x y e x − = − = 2 解 (1) ln(1 sin ) dy d x = − 3 3 (2) cos2 cos2 x x dy xde e d x − − = + 而 u = φ(x), 则 从而 2 2 (1 sin ) 1 sin d x x − = − 2 2 2 ( cos ) 1 sin x dx x − = − 2 2 2 cos 1 sin x x dx x − = − 3 (3cos2 2sin2 ) . x e x x dx − = − +