§8.3偏导数 在研究一元函数时,已经看到了函数关于自变量的 变化率(导数)的重要性.对于二元函数也同样有一个处于 重要地位的函数变化率问题因二元函数有两个自变量, 且这两个自变量是彼此无关的,故可考虑函数关于其中 的一个自变量的变化率,此时将另一个自变量看作不变 这种变化率称之为偏导数
1 §8.3 偏导数 这种变化率称之为偏导数. 在研究一元函数时, 已经看到了函数关于自变量的 变化率(导数)的重要性. 对于二元函数也同样有一个处于 重要地位的函数变化率问题. 因二元函数有两个自变量, 且这两个自变量是彼此无关的, 故可考虑函数关于其中 的一个自变量的变化率,此时将另一个自变量看作不变
偏导数的概念及计算 1.偏导数的概念 设函数=f(xy)在点(x,y)的某个邻域内有定义,则 称x在x处取得改变量A且y=%保持不变时,函数的 改变量A2=f(x+Ax,y)-f(x0,y) 称为函数z=f(xy)在(x,y)处对x的偏增量亦可记为Af 同样可将Δ2=f(x,y+4y)-f(x0,y) 称为函数二=f(xy)在(xy)处对y的偏增量,亦可记为△f 在上述意义下,把xy在(x2y)处同时取得改变量 x、△y时,函数的改变量
2 一. 偏导数的概念及计算 设函数z=ƒ(x,y)在点 ( , ) x y 0 0 的某个邻域内有定义,则 0 x 0 y y = 0 0 0 0 ( , ) ( , ) x = + − z f x x f x y y 称为函数z=ƒ(x,y)在 0 0 ( , ) x y . x f 处对y的偏增量,亦可记为 0 0 0 0 ( , ) ( , ) y = + − z f y y f y x x 0 0 ( , ) x y . y f 1.偏导数的概念 称x在 处取得改变量∆x且 改变量 保持不变时, 函数z的 处对x的偏增量,亦可记为 同样可将 称为函数z=ƒ(x,y)在 在上述意义下, 把x、y在 ∆x、∆y时, 函数z的改变量 0 0 ( , ) x y 处同时取得改变量
Az=f(ro+Ax,yo +Ay)-f(ro, yo) 称为函数z=f(xy)在(x,y)处的全增量,亦可记为△f. 定义7设函数z=f(xy)在点(x2y)的某个邻域内有定义, 若极限 lim lim f(x+△x,y0)-f(x0,y) Ax→>0△x△x→>0 =[f(x,y) xx=xo 存在,则称此极限值为函数z=f(xy)在点(x,y)处对 x的偏导数,并记为 或 Ox(第)2(x,y)成f(x,yo
3 0 0 0 0 = + + − z f x x y y f x y ( , ) ( , ) 处的全增量, 亦可记为∆ƒ. 设函数z=ƒ(x,y)在点 的某个邻域内有定义, 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim lim x x x z f x x f x x y y x → → + − = 0 0 ( , ) x y x的偏导数,并记为 0 0 ( , ) x y 0 0 0 0 ( , ) ( , ) x y x y z f x x 或 0 0 [ ( , )] x x x f x y = = 称为函数z=ƒ(x,y)在 0 0 ( , ) x y 定义7 若极限 存在，则称此极限值为函数z=ƒ(x,y)在点 处对 0 0 0 0 ( , ) ( , ). x x 或 或 z x y f x y
同理若极限 lim d in f(o]o+Ay)-f(o,yo2=[f(o, y)lye yo △ 存在,则称此极限值为函数z=f(xy)在点(x,)处对 y的偏导数并记为 或(或:(xny)成/( 如果函数z=f(xy)平区域D内每点(xy)处对x(或y)的偏 导数存在,则称函数f(xy)在D内有对x(或)的偏导函数, 简称偏导数,记作 f(x,y)或或或:f(x,y减或或
4 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim lim y y y z f y y x x f y → → y y + − = 0 0 [ ( , )] y y y f y x = = y的偏导数,并记为 0 0 ( , ) x y 0 0 0 0 ( , ) ( , ) x y x y z f y y 或 如果函数z=ƒ(x,y)平区域D内每点(x,y)处对x(或y) 的偏 导数存在, 则称函数ƒ(x,y)在D内有对x(或y)的偏导函数, 简称偏导数, 记作 ( , ) x x z f f x y z x x 或 或 或 ； ( , ) . y y z f f x y z y y 或 或 或 同理若极限 存在，则称此极限值为函数z=ƒ(x,y)在点 处对 0 0 0 0 ( , ) ( , ). y y 或 或 z x y f x y
2.偏导数的几何意义 因z=f(xy0)是曲面z=f(xy)与平面y=y的交线在 平面y=上的方程.故偏导数∫(x,y)的几何意义为 “曲面与平面的交线在点M(x2y,)处沿x轴方向的切 线L1的斜率”(如图) 而偏导数/,(x,y)的几何意义 为“曲面与平面x=x的交线 z=f(x,y)在点M(x,y,=0 处沿轴方向的切线L2 X=x y=yo 的斜率”(如图
5 2. 偏导数的几何意义 “曲面与平面的交线在点 处 0 z f x y = ( , ) 0 y y = 0 y y = L1 0 0 0 M x y z ( , , ) 0 0 ( , ) x f x y 为“曲面与平面 的交线 0 0 ( , ) y f x y L2 0 x x = 0 z f x y = ( , ) z O y x 0 z f x y = ( , ) 0 y y = L1 0 x x = L2 M. 因 是曲面z=ƒ(x,y)与平面 的交线在 平面 上的方程.故偏导数 的几何意义为 线 的斜率”(如图). 而偏导数 的几何意义 处沿y轴方向的切线 0 0 0 M x y z ( , , ) 的斜率”(如图). 在点 沿x轴方向的切
3.偏导数的计算 由偏导数的定义知 (1).要求函数f(xy)对自变量x的偏导数,只须将自变量 y看成常数,用一元函数的求导法则对x求导 (2)要求函数f(xy)对自变量v的偏导数,只须将自变量 x看成常数,用一元函数的求导法则对y求导
6 3. 偏导数的计算 (1).要求函数ƒ(x,y)对自变量x的偏导数, 只须将自变量 由偏导数的定义知： 用一元函数的求导法则对x求导； (2).要求函数ƒ(x,y)对自变量y的偏导数, 只须将自变量 y看成常数， x看成常数, 用一元函数的求导法则对y求导
例11求函数= arctan在点(1,0)处的偏导数 解(把y看成常量,对x求导) (1,0) 1+( (把x看成常量,对y求导) 1+ x 1+ V12 xx"+
7 例11 求函数 arctan 在点(1,0)处的偏导数. y z x = ( , ) z y x x 解 把 看成常量 对 求导 2 1 ( ) 1 ( ) x y y x x = + 2 2 2 2 1 ( ) 1 ( ) y y y x x y x = − = − + + (1 0) 0. z x = ， ( , ) z x y y 把 看成常量 对 求导 2 1 ( ) 1 ( ) y y y x x = + 2 2 2 1 1 1 ( ) x y x x y x = = + + (1 0) 1. z y =
例12求下列函数的偏导数:()z=x);(2)l=xy2=2 解(1)=(x")(幂函数的导数)=x ax (x3),(指数函数的导数)= xIn x 2)遇到多个部分的乘积可采用取对数的方法 nu=yInx+zny+xing 两边对x求导 +1nz→M=xy2z(+nz) 两边对y求导=nx+-→l=xy2z(nx+ x 两边对求导=ny+-→l2=xy2z(lny+
8 例12 求下列函数的偏导数: (1) ; (2) . y y z x z x u x y z = = (1) ( ) ) y x z x x = 解 （幂函数的导数 1 ; y yx − = ( ) ) y y z x y = （指数函数的导数 ln . y = x x (2) 遇到多个部分的乘积可采用取对数的方法. ln ln ln ln u y x z y x z = + + 两边对x求导 ( ln ). y z x x y u x y z z x ln = + x u y z u x = + 两边对y求导 (ln ). y z x y z u x y z x y ln = + y u z x u y = + 两边对z求导 (ln ). y z x z x u x y z y z ln = + z u x y u z = +
例3设函数f(x,y)有一阶连续偏导数=3x2且 f(x, y) 2,求 解因函数f(x,y)有一阶连续偏导数=3x 则上式两边对x积分有f(x,y)=0d=x3+c(y) 将(x,x2)代入上式有x3+c(x2)=2 令x2=y,则有c(y)=2-y →f(x,y)=x3-y2+2
9 2 13 ( , ) 3 f f x y x x = 例 设函数 有一阶连续偏导数 且2 ( , ) 3 , f f x y x x = 解 因函数 有一阶连续偏导数 3 ( , ) ( ); f f x y dx x c y x = = + 3 3 2 2 3 将 代入上式有 ( , ) ( ) 2, x x x c x + = 3 2 2 令 则有 x y c y y = = − , ( ) 2 3 2 = − + f x y x y ( , ) 2 2 . f y y = − 3 2 ( , ) ( , ) 2, . x x f f x y y = 求 则上式两边对 积分有 x
4多元函数的偏导数与连续性之间的关系 多元函数的偏导数与连续性之间的关系,与一元函 数的可导与连续的关系,有着本质的区别 元函数有“可导必连续”的性质;但在二元函数 中,“若函数(xy在某点的两个偏导数。与均存在, 而函数f(x,y)在该点却不一定连续 x2+y2≠0 例4证明(xy)={x2+y2 的偏导数存在 +y2=0 但在点(0,0)处不连续
10 4.多元函数的偏导数与连续性之间的关系 中,“若函数ƒ(x,y) 在某点的两个偏导数 f f x y 与 均存在， 而函数 在该点却不一定连续 f x y ( , ) . 2 2 2 2 2 2 2 0 14 ( ) , 0 0 xy x y f x, y x y x y + = + + = 例 证明 的偏导数存在 多元函数的偏导数与连续性之间的关系，与一元函 数的可导与连续的关系，有着本质的区别. 一元函数有“可导必连续”的性质；但在二元函数 但在点 处不连续 (0,0)