§26连续函数 连续函数是非常重要的一类函数也是函数的一种 重要的性态然界中的许多变量都是连续变化着的,即 在很短的时间内,们的变化都是很微小的.这种现象反 映在函数关系上,就是函数的连续性;对函数曲线来说 就是从起点开始到终点都不间断 函数增量(改变量) 设函数y=f(x),当x从x变到x1时,自变量的改变 量(x在x0处的增量)记为△x=x1-x2,相应的函数从f(xo) 变到(x)时,其函数值之差 Ay=f(x-f(ro) 叫做函数的增量改变量Ax,4y可正可负,4还可为0.1
1 § 2.6 连续函数 连续函数是非常重要的一类函数.也是函数的一种 重要的性态. 然界中的许多变量都是连续变化着的, 即 在很短的时间内, 们的变化都是很微小的. 这种现象反 映在函数关系上, 就是函数的连续性; 对函数曲线来说 就是从起点开始到终点都不间断. 设函数 y =ƒ(x), 当 x从 x0变到 x1时,自变量的改变 量(x在 x0 处的增量)记为 ∆x=x1–x2 . 相应的函数从f(x0 ) 变到f(x1 )时,其函数值之差 1 0 = − y f x f x ( ) ( ) 一.函数增量(改变量) 叫做函数的增量.改变量 Δ x,Δy 可正可负, Δy还可为0
连续函数的定义 图1中的函数曲线(连续)而不间断.即 当△x→>0时,△y→>0. y=f(r) 而图2中的函数曲线却间断.即 图1 当△x→>0时,Δy不一定趋于0 y=f(r) y 图2
2 二. 连续函数的定义 图1中的函数曲线 (连续)而不间断. 即 当 → → x y 0 , 0. 时 而图2中的函数曲线却间断. 即 当 → x y 0 , 0. 时 不一定趋于 o x y 0 x y=ƒ(x) }Δy o x y ° }Δy 0 x y=ƒ(x) Δx Δx 图1 图2 1 x 1 x
∠定义1设函数f(x)在x的某邻域内有定义,在x0处给 x一个增量Ax,当△x→Q时,有4→0.即 lim Ay= lim If(ro+Ax)-f(ro)=0. Ar→ Ax→>0 则称函数f(x)在x处连续.称x为连续点 y=f(x) 例22证明函数y=sinx在x处连续 证在x处给x一个增量x,则相应的函数增量为 Ay=sin(xo +Ax)sin xo= 2sin-cos(o+
3 定义1 设函数ƒ(x)在 x0的某邻域内有定义,在 x0 处给 x一个增量Δ x, 当 → → x y 0 , 0. 时 有 即 例22 证明函数 y = sin x 在 x0 处连续. 0 0 0 sin( ) sin 2sin cos( ) 2 2 x x y x x x x = + − = + o x y y=ƒ(x) Δx }Δy 0 x 0 x x + 则称函数ƒ(x)在 x0 处连续. 称 x0 为连续点. 0 0 0 0 lim lim[ ( ) ( )] 0. x x y f x x f x → → = + − = 证 在 x0 处给 x 一个增量Δx,则相应的函数增量为
0s(Ay/=2sin -cos( x ≤2sin|≤△x→0 →imAy=0则函数y=sinx在x处连续 注:因imf(x+Ax)-f(x)=0分imf(x+△x)=f(x) Ax-0 令x=x+△,当△x→0时有x→x从而 lim Ay=0 lim f(x)=f(xo). Ax→>0 从而有函数在一点连续的等价定义 定义2设函数f(x)在x0的某邻域内有定义,若 lim f(r)=f(ro) x→x 则称函数f(x)在x处连续称x为连续点
4 则函数 y = sin x 在 x0 处连续. 0 0 2sin cos( ) 2sin 0 2 2 2 x x x y x x = + → 0 lim 0 x y → = 注: 0 0 0 0 0 0 lim[ ( ) ( )] 0 lim ( ) ( ); x x f x x f x f x x f x → → 因 + − = + = 从而有函数在一点连续的等价定义 0 0 令 , 0 x x x x x x = + → → 当 时,有 ，从而 0 0 0 lim 0 lim ( ) ( ). x x x y f x f x → → = = 定义2 设函数ƒ(x)在 x0 的某邻域内有定义, 若 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = 则称函数ƒ(x)在 x0 处连续. 称 x0为连续点
lim f(x)=A<> lim f(x)=lim f(x)=A x→x x→x 则有imf(x)=f(x)<→limf(x)=limf(x)=f(x0) 对应有左、右连续的概念 定义3若Iimf(x)=∫(x) 则称函数f(x)在x处左连续;记为 lim f(x)=f(o)=f(xo) x→x0 若lim∫(x)=f(x),则称函数f(x)在x处右连续.记为 x→x lim f(x)=f(x,)=f(ro) x→x0
5 0 lim ( ) x x f x A → = 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x f x A → → − + 因 = = 则有 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = 0 0 0 lim ( ) lim ( ) ( ) x x x x f x f x f x → → − + = = 对应有左、右连续的概念. 则称函数ƒ(x)在x0处左连续; 记为 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → − = 0 0 lim ( ) ( ), x x f x f x → + 若 = 0 0 0 lim ( ) ( ) ( ) x x f x f x f x − − → = = 0 0 0 lim ( ) ( ) ( ) x x f x f x f x + + → = = 则称函数 ƒ(x)在 x0 处右连续. 记为 定义3 若
结论:函数f(x)在xo处连续的充要条件是f(x)在x处既 左连续又右连续.即 imf(x)=f(x)<>lim∫(x)=lim∫(x)=f(x) x→>x0 x→x0 定义若函数f(x)在开区间(a,b)内的每一点都连续, 则称函数f(x)在开区间(a,b)内连续; 若函数f(x)在开区间(a,b)内连续,且在左端点a 右连续,在右端点b左连续,则称函数f(x)在闭区间 Ia,b内连续
6 结论: 函数ƒ(x)在x0 处连续的充要条件是ƒ(x)在 x0 处既 左连续又右连续. 即 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = 0 0 0 lim ( ) lim ( ) ( ) x x x x f x f x f x → → − + = = 定义 若函数ƒ(x)在开区间 (a , b) 内的每一点都连续, 则称函数ƒ(x)在开区间 (a , b) 内连续; 若函数ƒ(x)在开区间 (a , b) 内连续, 且在左端点 a 右连续 , 在右端点 b 左连续 , 则称函数 ƒ(x) 在闭区间 [a , b] 内连续
例23.证明函数y=x2在(-∞,+∞)连续 例24.讨论函数在x=0处的连续性 (1)f(x)=xl; -1,x0 x In x≠0 (3)f(x) 0,x=0
7 1 , 0 (2). ( ) sgn( ) 0 , 0; 1 , 0 x f x x x x − = = = 2 1 sin , 0 (3). ( ) 0 , 0 x x f x x x = = 例23. 证明函数 y = x2 在 (-∞, +∞) 连续. 例24. 讨论函数在 x = 0 处的连续性 (1). ( ) ; f x x =
x20≤x<1 例25.讨论函数f(x12-x1xs2在x=1 处的连续性 解 f(1=1 H limf(x)=limx =1 x-1 lim f(x)=lim(2-x)=1 x→1+ lim f(x=f()=l 故f(x)在x=1处连续
8 例25. 讨论函数 在x = 1 2 0 1 ( ) 2 1 2 x x f x x x = − 解 (1) 1 f = 故 f x x ( ) 1 . 在 = 处连续 2 1 1 lim ( ) lim 1 x x f x x → → − − 且 = = 1 1 lim ( ) lim(2 ) 1 x x f x x → → + + = − = 1 lim ( ) (1) 1 x f x f → = = 处的连续性
3x2+x+1x0 √x 当k为何值时,f(x)在x=0点连续 解∵f(0)=k,且limf(x)=lim(3x2+x+1)=1 x→0 x→0 sIns limf(x)=lm(产+1)=1 lim f(x)=lim f(x=1 故当∫(0)=k=1时,∫(x)在x=0处连续
9 例26.设 2 3 1 0 ( ) 0 sin 1 0 x x x f x k x x x x + + = = + 当 k 为何值时, ƒ(x)在 x = 0点连续. 解 2 0 0 (0) , lim ( ) lim(3 1) 1 x x f k f x x x → → − − = = + + = 且 故 当 f k f x x (0) 1 , ( ) 0 . = = = 时 在 处连续 0 0 sin lim ( ) lim( 1) 1 x x x f x x → → + + = + = 0 0 lim ( ) lim ( ) 1 x x f x f x = = → → − +
例27确定常数a,b,使f(x)=m、2n1+ax2+bx n+1 为连续函数 ax+br x|1 解…f(x)= (a+b+1) 21—2 (-b-1 x=-1 要使f(x)连续,则∫(x就必须在x=±1处连续。 imf(x)=limf(x)=∫(1) 由 x→ x→」 得 lim f()=lim f(x)=f(1)
10 例27 确定常数 a, b, 使 2 1 2 2 ( ) lim 1 n n n x ax bx f x x − → + + = + 为连续函数. 2 1 1 1 ( ) 1 ( 1) 1 2 1 ( 1) 1 2 ax bx x x x f x a b x a b x + = + + = − − = − 解 ∴ 要使ƒ(x)连续，则ƒ(x)就必须在 x = ±1处连续。 1 1 1 1 lim ( ) lim ( ) (1) , lim ( ) lim ( ) ( 1) x x x x f x f x f f x f x f − + − + → → → − → − = = = = − 由 得