§6.2定积分的的性质 性质1若f(x)=1,则f(x)t==b-a 证「ax ∑Ar1=b-a 1->0 性质2若(x)与gx)在[a,b]上可积,则f(x)±gx)在[a,b 上也可积,且[f(x)±g(x)=Jf(x)+8(x)hr 证「(x)+g(x)=m∑U()士8(5)x mf(Ax±m∑g(5)x (x)女+Jg(x 注1性质2可推广到有限个,即∫∑(xk=∑(x)
1 §6.2 定积分的的性质 性质1 若ƒ(x)=1, 则 ( ) b b a a f x dx dx b a = = − 0 1 lim n b i a i dx x → = = 性质2 若ƒ(x)与g(x)在[a, b]上可积, 则ƒ(x) ± g(x)在[a, b] 上也可积, 且 [ ( ) ( )] ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx = [ ( ) ( )] b a f x g x dx 注1 性质2可推广到有限个, 即 1 1 ( ) ( ) n n b b i i a a i i f x dx f x dx = = = 0 0 1 1 lim ( ) lim ( ) n n i i i i i i f x g x → → = = = 证 证 = −b a 0 1 lim [ ( ) ( )] n i i i i f g x → = = ( ) ( ) b b a a = f x dx g x dx
性质3若f(x)在[ab上可积,k为常数,则kf(x)在[ab 上也可积,且「(xt f(x)dx 证∫6(x)=mC的(5)A=klm∑/()Ax2=k,/(x) 性质4(区间可加性)若f(x)在点a、b、c所成区间中最大 的一个上可积,则f(x)在其余两个区间上也可积,且 ∫(x)=(x)+(xh 证分两种情形讨论 I.若a<c<b,则因f(x)在[a,b上可积知,其积分和的极限 存在且与a,b的分法和5的取法无关
2 性质3. 若ƒ(x)在[a, b]上可积, k为常数, 则kƒ(x)在[a, b] 上也可积, 且 ( ) ( ) b b a a kf x dx k f x dx = 0 1 ( ) lim ( ) n b i i a i kf x dx kf x → = = 0 1 lim ( ) ( ) . n b i i a i k f x k f x dx → = = = 性质4(区间可加性) 若ƒ(x)在点 a、 b 、 c 所成区间中最大 的一个上可积, 则ƒ(x)在其余两个区间上也可积, 且 证 ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx = + 证 分两种情形讨论 Ⅰ.若a<c<b,则因ƒ(x)在[a, b]上可积知, 其积分和的极限 存在且与[a, b]的分法和 i 的取法无关
因而可将点c作为区间的一个分点,并记x=C,从而 n=∑f()Ax+∑f(5)x 其中∑(5x和∑f()Ax分别是f(x)在[a,d与c,b上的 i=k+1 积分和,当λ→>0时,对上式两边取极限,有 ∫(x)=J(xk+(x) c
3 , k x c = 从而 1 1 ( ) ( ) k n n i i i i i i k S f x f x = = + = + 因而可将点 c 作为区间的一个分点, 并记 积分和, 当 时, 1 1 ( ) ( ) k n i i i i i i k f x f x = = + 其中 和 →0 ( ) ( ) ( ) . b c b a a c f x dx f x dx f x dx = + 分别是ƒ(x)在[a, c]与[c, b]上的 对上式两边取极限, 有
Ⅱ.若点c不在内不妨设a<b<c,其他情形可类似证明, 则由1有∫(x)=(对+0(x /(xk=/(x)-.(x)=/(x)+!(x) 性质5若f(x)与g(x)在[ab上都可积,且∨x∈[a,b],均有 f(x)≤g(x)则‖f(x)x≤g(x)dty 证∫[(x)-g(x)k=im∑U()-8(5)△x≤0 ∫/x)hx-g(x)k≤0(xkg(xk
4 Ⅱ. 若点 c不在内.不妨设 a<b<c, 其他情形可类似证明, 则由Ⅰ有 ( ) ( ) ( ) c b c a a b f x dx f x dx f x dx = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b c c c b a a b a c f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx =−=+ 性质5 若ƒ(x)与g(x)在[a, b]上都可积, 且 x a b [ , ] , 均有 ( ) ( ) b b a a f x dx g x dx 则 f x g x ( ) ( ). 0 1 [ ( ) ( )] lim [ ( ) ( )] 0 n b i i i a i f x g x dx f g x → = 证 − = − ( ) ( ) 0 b b a a f x dx g x dx − ( ) ( ) b b a a f x dx g x dx
性质6若f(x)在[a,b上连续,f(x)≥0但不恒为零,必有 f(x)dx>0 证因在[a,b上f(x)≥0但不恒为零,故在{ab]上至少存在一点 6,不妨设x∈(a,b),使得f(x0)≥0 由f(x)的连续性知,在x的某邻域内,必有 f(x)≥f(x0)>0 而(x-6,x0+)c[a,6] (x)k=-(xk+”/(x)+。(x)全 f(x)dx 1 +6 dx=f(x0)6>0
5 性质6 若ƒ(x)在[a, b]上连续, f x( ) 0 ( ) 0 b a f x dx 但不恒为零, 必有 f x( ) 0 0 x , 0 x a b 0 ( , ), f x( ) 0 0 x 0 0 而 ( , ) [ , ] x x a b − + 0 1 ( ) ( ) 0 2 f x f x 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) b x x b a a x x f x dx f x dx f x dx f x dx − + − + = + + 证 因在[a, b]上 但不恒为零,故在[a,b]上至少存在一点 不妨设 使得 由ƒ(x)的连续性知, 在 的某邻域内, 必有 0 0 ( ) x x f x dx + − 0 0 0 0 1 ( ) ( ) 0 2 x x f x dx f x + − =
例4确定积分的符号 解∵f(x)=x2lnx∈C[,1,而f(x)≤0且f(x)≠0, x In xdx <0 性质7若f(x)在a,b上可积,则f(x)在[ab上也可积,且有 (x((x 证∵-f(x)≤f(x)≤f(x) 1x)tksJ(x)t≤(x)d f(x)dx<1f(x)dx
6 例4 确定积分 1 2 1 2 x xdx ln 2 1 ( ) ln [ ,1], ( ) 0 ( ) 0, 2 解 而 且 f x x x C f x f x = 1 2 1 2 ln 0. x xdx 性质7 若ƒ(x)在[a, b]上可积, 则|ƒ(x)|在[a, b]上也可积, 且有 ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx f x dx a b 的符号. − f x f x f x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a − f x dx f x dx f x dx ( ) ( ) . b b a a f x dx f x dx 证
o sin x 例5求证 dx|0, sInx sInx x 20 sinx 20 x dx=1 1+ 1+x 性质8(估值定理)若f(x)在[a,b]上可积,且x∈[ab,均有 m≤f(x)≤M m(b-a)sf(x)hx≤M(b-a 证∵m≤f(x)≤M∴| mdxs f(x) armAx mb-a)sfx)tx≤M(b-a)
7 例5 求证 20 10 2 sin 1 1 x dx x + 2 sin sin 1 10 0, 1 x x x x + 且 20 20 10 10 2 2 sin sin 1 1 x x dx dx x x + + 性质8 (估值定理)若ƒ(x)在[a, b]上可积, 且 x a b [ , ], m f x M ( ) ( ) ( ) ( ) b a m b a f x dx M b a − − 2 sin x x 1 1 x 10 20 10 1 1 10 = dx 则 ( ) m f x M ( ) b b b a a a mdx f x dx Mdx 证 证 均有 ( ) ( ) ( ) b a − − m b a f x dx M b a
此性质的几何解释: 区间[a,b]上方以曲线y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积, 介于以[ab]为底、以被积函数f(x)的最小值m及最大值M为 高的两个矩形的面积之间
8 此性质的几何解释: 区间[a, b]上方以曲线 y =ƒ(x)为曲边的曲边梯形的面积, 介于以[a,b]为底、 以被积函数ƒ(x)的最小值m及最大值M为 高的两个矩形的面积之间
6估计积分[m(x+x)x的值 令f(x)=1n(x+x2),f(x)= 2x,由f(x)=0有x=0 1+x f(0)=0,f(-1)=ln2,f(2)=ln50≤f(x)≤slns 0≤n(x+x2)bx≤3hn5 注2学会应用微分法来求函数的最大小值从而可利用估 值定理估计定积分的值 性质9(积分中值定理)若f(x)在[a,b上连续,在(a,b)上至少 存在一点,使得[f(x)dt=f()b-a)5∈(a,b) 证因f(x)∈C[ab]则f(x)在[ab上必有,最小值m及最大值M 即x∈[a,b]均有m≤f(x)≤M
9 例6 估计积分 的值. 2 2 1 ln( ) x x dx − + 注2 学会应用微分法来求函数的最大小值,从而可利用估 值定理估计定积分的值. 2 2 2 ( ) ln( ), ( ) , 1 x f x x x f x x = + = + 解 令 性质9(积分中值定理)若ƒ(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)上至少 , ( ) ( )( ) ( , ) b a f x dx f b a a b = − 由 有 ( ) 0 0 f x x = = f f f (0) 0, ( 1) ln 2, (2) ln 5 = − = = 0 ( ) ln 5 f x 2 2 1 0 ln( ) 3ln5. x x dx − + 证 因ƒ(x)∈C[a,b],则ƒ(x)在[a,b]上必有, 最小值m及最大值M, 即 x a b [ , ] 均有 m f x M ( ) 存在一点 使得
从而m三。/(k≤M,则由连续函数的介值定理 至少存在一点∈(ab),使得 f(x)dx=f(s b-a f(x)dx=f(s(b-a) sE(a, b) 称为f(x)在[a,b]上的平均值 此性质的几何解释: 区间[a,b]上方以曲线y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积 等于以区间[a,b为底、以(2)为高的这个矩形的面积 注3通常把f(x)k=f(5)称为f(x)在ab上的平均值 习题提示P26.5利用积分中值定理计算简单
10 即 1 ( ) ( ) b a f x dx f b a = − ( ) ( )( ) ( , ) b a f x dx f b a a b = − 此性质的几何解释: 注3 通常把 1 ( ) ( ) b a f x dx f b a = − 习题提示:P226.5利用积分中值定理计算简单. 区间[a ,b]上方以曲线 y =ƒ(x)为曲边的曲边梯形的面积, 等于以区间[a, b]为底、以ƒ(ξ) 为高的这个矩形的面积. 从而 则由连续函数的介值定理, 1 ( ) , b a m f x dx M b a − 至少存在一点ξ∈(a,b), 使得 称为ƒ(x)在[a, b]上的平均值. 称为ƒ(x)在[a, b]上的平均值