§43函数的单调性 单调性是函数的重要性态之一,也是本章主要 内容.它既决定着函数递增和递减的状况,又有助 于我们研究函数的极值、证明某些不等式、分析描 绘函数的图形等 一函数的单调性 1.(第一章)单调增加(或减少)函数的几何解释:对应 曲线是上升或下降的
1 1.(第一章) 单调增加(或减少)函数的几何解释: 对应 曲线是上升或下降的. §4.3 函数的单调性 单调性是函数的重要性态之一, 也是本章主要 内容. 它既决定着函数递增和递减的状况, 又有助 于我们研究函数的极值、证明某些不等式、分析描 绘函数的图形等. 一.函数的单调性
y=f(x) f(x1) x, o 用定义来判断函数的单调性有比较法、比值法 但繁!下面讨论如何用导数来判断函数的单调性
2 2 x 1 f x( ) 2 f x( ) y= ƒ(x) o x x y y x1 o 1 x 2 x 1 f x( ) 2 f x( ) y= ƒ(x) 用定义来判断函数的单调性有比较法、比值法. 但繁! 下面讨论如何用导数来判断函数的单调性
从上图可看出:当曲线为上升(或下降)时,其上各点切 线与轴正向夹角为锐角(或钝角),则其切线斜率tm是非 负(或非正)的 根据导数的几何意义知函数f(x)单调增加(或减少)时,总有 ∫(x)≥0(或f(x)≥0 可见函数的单调性与导数的符号有关 反之,能否用导数的符号来判断函数的单调性呢?
3 o x o x y y 反之, 能否用导数的符号来判断函数的单调性呢? f x f x ( ) 0( ( ) 0 或 ） 从上图可看出:当曲线为上升(或下降)时,其上各点切 线与x轴正向夹角为锐角(或钝角),则其切线斜率tanα是非 负(或非正)的. 根据导数的几何意义知函数ƒ(x)单调增加(或减少)时, 总有 可见函数的单调性与导数的符号有关
定理7.(函数单调性的判定方法)设y=f(x)在区间/a,b 上连续,在区间(a,b内可导x∈(a,b,有 (1)若f(x)>0,则f(x)在区间(an,b)内单调增加 (2)若f(x)<0,则f(x)在区间(a,b)内单调递减 即函数导数在区间保号从而此函数在该区间内一定单调
4 定理7.(函数单调性的判定方法) 设y =ƒ(x)在区间[a, b] 上连续, 在区间(a, b)内可导. x a b ( , ), 有 (1) ( ) 0 ( ) ( , ) 若 ，则 在区间 内单调增加 f x f x a b (2) ( ) 0 ( ) ( , ) 若 ，则 在区间 内单调递减 f x f x a b 即函数导数在区间保号从而此函数在该区间内一定单调
证Wx,x2∈(a,b),x10时,有∫()>0从而 f(x2)-f(x) >0 f(x2)>f(x1)故由x,x2的任意性/(x)在a,b)内单增
5 1 2 1 2 , ( , ), , x x a b x x 1 2 1 2 由已知 在 上连续,在 可导 f x x x x x ( ) [ , ] ( , ) 2 1 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ( , ) ) f x f x f x x x x − = − 其中 根据拉格朗日中值定理, 有 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 0 f x f x f x f x x − − 当 时，有 从而 2 1 f x f x ( ) ( ) 1 2 故由 的任意性, 在( )内单增 x x f x a b , ( ) , . 证
(x)0(,+o)→e在(-,+)内单增 ∫(x)=e-→f(x)=<0(-∞,+∞)→c在(-∞,+)内单减 注1.研究函数的单调性,就是判断它在哪些区间内递增, 哪些区间内递减由定理1对可导函数的单调性可根据 导数的正负情况予以确定
6 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 0 f x f x f x f x x − − 当 时，有 从而 1 2 , ( ) , . 故由 的任意性, 在( )内单减 x x f x a b 例15 ( ) x f x e = ( ) 0 ( , ) ( , ) . x x f x e e = − + − + 在 内单增 2 1 f x f x ( ) ( ), ( ) x f x e− = ( ) 0 ( , ) ( , ) . x x f x e e − − = − − + − + 在 内单减 注1.研究函数的单调性, 就是判断它在哪些区间内递增, 哪些区间内递减.由定理 1 对可导函数的单调性,可根据 导数的正负情况予以确定. 2.定理7的结论对无穷区间也成立
如果函数的导数仅在个别点处为0,而在其余的点处均 满足定理1,则定理1仍成立.如 y=∫(x)=x3→f(x)=2x2≥0◆有(0)=0 但y=x3在(-∞,+∞)◆◆增 4.此定理可完善为充要条件,即若f(x)在 (a,b)内可导且单调增加(或减少),则f(x) 在(a,b)内必有 ∫(x)≥0或∫(x)≤0) 5有些函数在它的定义区间上不是单调的如 y=f(x)=x2→f(x)=2x ≥0,x∈[0,+) 0,x∈(-∞,0) 但它在部分区间上单调,那么怎么来求它的单调区间呢?
7 o x y 3 y x = 3.如果函数的导数仅在个别点处为 0, 而在其余的点处均 满足定理1, 则定理1仍成立. 如 3 2 3 ( ) ( ) 2 0( (0) 0) ( , ) . y f x x f x x f y x = = = = = − + 有 但 在 增 4.此定理可完善为充要条件. 即若ƒ(x)在 (a, b)内可导且单调增加(或减少), 则ƒ(x) 在(a, b)内必有 f x f x ( ) 0( ( ) 0). 或 5.有些函数在它的定义区间上不是单调的.如 2 0 , [0, ) ( ) ( ) 2 0 , ( ,0) x y f x x f x x x + = = = − 但它在部分区间上单调, 那么怎么来求它的单调区间呢? o x 2 y y x =
6函数y=,x=0为其连续不可导点.但它在部分 区间上单调,那么又怎么来求它的单调区间呢? 结论:如果函数在定义区间上连续,除去有限个导数 不存在的点外导数都存在且连续,那么只要用方程 f(x)=0的解及f(x)不存在 的点(单调区间分界点)来划分函数的定义区间,就能保 证函数在各个部分区间内保持固定符号,从而可得单调 区间及函数的单调性
8 o x y y=|x| 的点(单调区间分界点)来划分函数的定义区间, 就能保 证函数在各个部分区间内保持固定符号, 从而可得单调 区间及函数的单调性. f x f x ( ) 0 ( ) = 的解及 不存在 6.函数y=|x|, x = 0为其连续不可导点. 但它在部分 区间上单调, 那么又怎么来求它的单调区间呢? 结论: 如果函数在定义区间上连续, 除去有限个导数 不存在的点外导数都存在且连续, 那么只要用方程
确定某个函数y=f(x)的单调性的一般步骤是 (1)确定函数定义域; (2)求出f(x)=0及f(x)不存在的点,以这些点为分界 点划分定义域为多个子区间; (3)确定∫(x)在各子区间内的符号,从而定出f(x)在各 子区间的单调性
9 确定某个函数y=ƒ(x)的单调性的一般步骤是: (1)确定函数定义域; (2)求出 的点, 以这些点为分界 点划分定义域为多个子区间; f x f x ( ) 0 ( ) = 及 不存在 (3)确定 在各子区间内的符号, 从而定出ƒ(x)在各 子区间的单调性. f x ( )
例16求函数∫(x)=2x2-9x2+12x-3的单调区间 解定义域为(-∞,+∞) f(x)=6x2-8x+12=6(x-1)(x-2)由f(x)=0有x1=1,x2=2 ◆◆根◆(∞,+)分◆三◆子◆◆(-∞,11,2,[2,+) 列表讨论如下: (-∞,1)1(1,2)2(2,+) f(x) 故-∞,1,12,+∞)是∫(x)的递增区间.[1,2]是递减区间.(端点 可包括也可不包括)
10 例16 求函数 的单调区间. 3 2 f x x x x ( ) 2 9 12 3 = − + − ( , ) − + 1 2 由 有 ( ) 0 1, 2 f x x x = = = x 1 (1, 2) 2 + – + ƒ(x) ( , 1) − (2, ) + f x ( ) 列表讨论如下: 2 f x x x x x ( ) 6 8 12 6( 1)( 2) = − + = − − 根 分 三 子 ( , ) ( ,1],[1,2],[2, ) − + − + 解 定义域为 故 是ƒ(x)的递增区间. [1, 2] 是递减区间. (端点 可包括也可不包括) ( ,1],[2, ) − +