§10.2一阶微分方程 阶微分方程是最简单的方程.求解的方法主要是 采用初等解法,即把微分方程的求解问题化为积分问题 一阶微分方程的一般形式为 F(x,y,y”)=0 阶方程的初值问题的数学模型为 F(x,y,y)=0 根据方程本身的特点,一阶方程又可分为
1 §10.2 一阶微分方程 一阶微分方程的一般形式为 一阶方程的初值问题的数学模型为 0 0 ( , , ') 0 x x F x y y y y 根据方程本身的特点，一阶方程又可分为： F(x, y, y')0 一阶微分方程是最简单的方程. 求解的方法主要是 采用初等解法, 即把微分方程的求解问题化为积分问题
变量可分离的方程 形如f(y)dy=g(x)dx的一阶方程方程,称为变量已分 离的方程 形如y=fx)g()的一阶方程方程,称为变量可分离 方程设g()≠0,则方程可写成变量已分离的方程 gly f∫(x)dh 若函数/与g连续,则两边分别对x与y积分,得 中y 8()」f(x)x+c 就为变量可分离方程的通解.其中c为任意常数
2 一. 变量可分离的方程 形如 f(y)dy = g(x)dx 的一阶方程方程, 称为变量已分 离的方程. 形如 y’= f(x)g(y) 的一阶方程方程, 称为变量可分离 的 方程. 设 g(y) ≠ 0, 则方程 可写成变量已分离的方程 ( ) ( ) dy f x dx g y 若函数f与g连续，则两边分别对 x 与 y 积分, 得 ( ) ( ) dy f x dx c g y 就为变量可分离方程的通解. 其中c为任意常数
例2求方程y=2xy的通解 解分离变量,得1=2x 两边积分,得lny=x2+lne 于是原方程的通解为y=ce 例3求方程 cosxsin ydy= cos sinx满足初始条件 0 的特解 解分离变量,得 sin y 中y sInx d x cos y cosx 两边积分,得 Incos y= Incosx+lnc 于是原方程的通解为c0sy= c coSr
3 例2 求方程 y’= 2xy 的通解. 1 dy 2xdx y 解 分离变量, 得 两边积分，得 于是原方程的通解为 2 ln y x lnc 2 x y ce 例3 求方程 cos xsin ydy cos ysin xdx 的特解. 满足初始条件 解 分离变量, 得 sin sin cos cos y x dy dx y x 两边积分，得 lncos y lncos x lnc 于是原方程的通解为 cos y ccos x 0 4 x y
又将初始条件y=。=4代入通解中,得 故满足初始条件的特解为cosy" 2 coS, e 例4已知需求价格弹性为=-1(2,且当Q=0时 P=100.试求价格P与需求Q的函数关系p=fQ) 解由需求价格弹性的定义,有 2 dp o 这是变量可分离的方程移项化简,得 Q·d=-- P 两边积分得Q2=-lnp+lnc1
4 又将初始条件 故满足初始条件的特解为 0 4 x y 代入通解中, 得 2 2 c 2 2 cos y cos x 例4 已知需求价格弹性为 η = -1/Q2 , 且当 Q = 0 时, p = 100 . 试求价格p与需求Q的函数关系 p = f(Q). 解 由需求价格弹性的定义, 有 2 p dQ 1 Q dp Q 这是变量可分离的方程,移项化简，得 两边积分,得 1 Q dQ dp p 2 1 1 ln ln 2 Q p c
即P=c1e2 又将初始条件Q=0时,p=100代入上式,得c1=100 故需求函数为p=100 二可化为变量可分离的方程 1.齐次方程 形如υ=∫()的一阶方程,称为齐次微分方程,简称 齐次方程 引入新的变换l=2,即y=ux 就可将齐次方程化为变量可分离的方程
5 即 1 2 2 1 Q p c e 又将初始条件Q = 0 时, p = 100代入上式, 得 c 1=100 故需求函数为 1 2 2 100 Q p e 二. 可化为变量可分离的方程 1. 齐次方程 形如 ' ( ) 的一阶方程，称为齐次微分方程, 简称 y y f x 齐次方程. 引入新的变换 就可将齐次方程化为变量可分离的方程. , y u y ux x 即
因为中=xm 所以xax+=f(a) du 分离变量,得 d x f(u)-ux 若u-fu)=0,两端积分,得 d x+Inc du f(u)-u·x 于是,得x=cef(a 将变量还原,便可得原方程的通解 例5求方程中 42,/y,y的通解 解令∥=y,即y=ax则得中=x+n d 代入原方程,得x4=2m
6 ( ) du x u f u dx 所以 1 ( ) du dx f u u x 分离变量, 得 若 u- f(u)≠0, 两端积分, 得 1 ln ( ) du dx c f u u x ( ) du f u u x ce 于是, 得 将变量还原, 便可得原方程的通解. 例5 求方程 2 dy y y dx x x 的通解. dy du x u dx dx 因为 解 令 , y u y ux x 即 代入原方程, 得 则得 dy du x u dx dx 2 du x u dx
分离变量,得 dx 2√ux 两端积分,得 +Inc 于是√u=lnx+c 将u=代入上式,并化简得方程的通解为 y=x(nx+c) 例6求方程x=y(mny-lnx)的通解 解将方程恒等变形为Φ〕 de 令=",即y=ax则得=xm+a dx dx
7 分离变量, 得 2 du dx u x 两端积分, 得 ln 2 du dx c u x 于是 u ln x c y u x 将 代入上式, 并化简得方程的通解为 2 y x(ln x c) 例6 求方程 (ln ln ) 的通解. dy x y y x dx 解 将方程恒等变形 ln dy y y dx x x 为 , y u y ux x 令 即 则得 dy du x u dx dx
代入原方程,得x tu=ulna dx du dx 分离变量,得 u(Inu-1) 两端积分,得In(mu-1)=lnx+lnc 即Inu=cx+1 将u=代入上式,并化简得方程的通解为 y=xect+1
8 ln du x u u u dx 代入原方程, 得 (ln 1) du dx u u x 分离变量 , 得 两端积分, 得 ln(lnu 1) ln x lnc 即 ln u cx 1 cx 1 y xe y u x 将 代入上式, 并化简得方程的通解为
三.一阶线性微分方程 形如yp(x)=q(x)的方程,称为一阶线性微分方程 若q(x)=0,则称方程y+p(x)y=0 为一阶齐次线性微分方程 若q(x)≠0,则称方程y”+p(x)y=q(x) 为一阶非齐次线性微分方程 1.一阶齐次线性微分方程的通解 方程y”+p(x)=0是变量可分离的方程,其通解为 y=ce jp(r)dr 其中c为任意常数
9 三. 一阶线性微分方程 形如 y’+ p(x)y = q(x)的方程，称为一阶线性微分方程. 若 q(x) = 0 , 则称方程 y’+ p(x)y = 0 为一阶齐次线性微分方程 若 q(x) ≠ 0 , 则称方程 y’+ p(x)y = q(x) 为一阶非齐次线性微分方程. 1.一阶齐次线性微分方程的通解 方程 y’+ p(x)y = 0 是变量可分离的方程, 其通解为 p( x)dx y ce 其中c为任意常数
阶非齐次线性微分方程的通解 阶非齐次线性微分方程y+p(x)y=q(x)是齐次方程 的一般情况.我们可以设想非齐次线性微分方程有形如 y=c(rle j p(xdx 的解,但其中的c为x的待定函数 ch-』px c(x)e p(x)dt p(r) 将y与y代入方程y”+p(x)y=qx),并整理,得 c(x=q(x)e p(r)du 两端积分,得c(x)=」q(x)s"d+c
10 2.一阶非齐次线性微分方程的通解 的解, 但其中的 c 为 x 的待定函数. 将 y与y’代入方程 y’+ p(x)y = q(x), 并整理, 得 一阶非齐次线性微分方程 y’+ p(x)y = q(x)是齐次方程 的一般情况. 我们可以设想非齐次线性微分方程有形如 ( ) ( ) p x dx y c x e ( ) ( ) ' '( ) ( ) ( ) p x dx p x dx y c x e c x e p x 因 ( ) '( ) ( ) p x dx c x q x e 两端积分, 得 ( ) ( ) ( ) p x dx c x q x e dx c