概念的引入 在数的运算中,当数a≠0时,有 =aa=1, 其中a-=1为a的倒数,(或称a的逆); 在矩阵的运算中,单位阵E相当于数的乘法运算中 的1,那么,对于矩阵A,如果存在一个矩阵A, 使得4=AA=E, 则矩阵A称为A的可逆矩阵或逆阵
1, 1 1 = = − − aa a a , 1 1 AA = A A = E − − 则矩阵 称为 A 的可逆矩阵或逆阵. −1 A 一、概念的引入 在数的运算中，当数 a 0 时，有 a a 1 1 = 其中 − 为 a 的倒数，（或称 a 的逆）； 在矩阵的运算中，单位阵 E 相当于数的乘法运算中 的1， 那么，对于矩阵 A ， −1 如果存在一个矩阵 A , 使得
逆矩阵的概念和性质 定义对于n阶矩阵A,如果有一个n阶矩阵B ,使得 AB= BA= E 则说矩阵是可逆的,并把矩阵B称为A的逆矩阵 A的逆矩阵记作A-1 1/21/2 例设 B= 1/21/2 AB=BA=E,∴B是4的一个逆矩阵
二、逆矩阵的概念和性质 定义 对于 阶矩阵 ，如果有一个 阶矩阵 则说矩阵 是可逆的，并把矩阵 称为 的逆矩阵. n A B AB = BA = E, B A n A ,使得 . −1 A的逆矩阵记作A 例 设 , 1 2 1 2 1 2 1 2 , 1 1 1 1 − = − A = B AB = BA = E, B是A的一个逆矩阵
说明若A是可逆矩阵,则A的逆矩阵是唯一的 若设B和C是A的可逆矩阵,则有 AB= BA=E, AC=CA=E, 可得B=EB=(CAB=C(AB)=CE=C 所以A的逆矩阵是唯一的,即 B=C=A-I
说明 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的. 若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有 AB = BA = E, AC = CA = E, 可得 B = EB = (CA)B = C(AB) = CE = C. 所以 A 的逆矩阵是唯一的,即 . −1 B = C = A
例设A= 求的逆阵 10 解设(cd/是A的逆矩阵, 则AB 21 b)(10 10八cd)(01 2a+c2b+d(10 b
例 设 , 1 0 2 1 − A = 求A的逆阵. 解 设 是 的逆矩阵, = c d a b B A 则 − = c d a b AB 1 0 2 1 = 0 1 1 0 = − − + + 0 1 2 2 1 0 a b a c b d
2a+c=1 2b+d=0 b=-1 今 今 b=1, d=2. 又因为 AB BA 21(0 0-1Y/21(10 1012)(12人-10(01 所以 0-1
− = − = + = + = 1, 0, 2 0, 2 1, b a b d a c = = = − = 2. 1, 1, 0, d c b a 又因为 − 1 0 2 1 − 1 2 0 1 − 1 0 2 1 = − 1 2 0 1 , 0 1 1 0 = 所以 . 1 2 0 1 1 − = − A AB BA
定理1矩阵A可逆的充要条件是A≠0,且 其中4*为矩阵4的伴随矩阵 证明若A可逆,即有A使AA=E 故AA1=E=1,所以4≠0 当A≠0时
定理1 矩阵 可逆的充要条件是 ，且 , −1 1 = A A A A A 0 证明 若 A 可逆， A AA = E. 即有 −1使 −1 1, 1 = = − 故 A A E 所以A 0. 其中A 为矩阵A的伴随矩阵. 当A 0时
当4≠0时, 141+a1242+…+an4n=4 +an242+…+amAm=|A
当A 0时, = n n nn n n n n nn n n A A A A A A A A A a a a a a a a a a AA 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 a11A11 + a12A12 ++ a1nA1n = A an1An1 + an2An2 ++ annAnn = A , = A A A A O O
A A A4=AA=AE→A=1AA=E, 按逆矩阵的定义得 证毕 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义 当A=0时,A称为奇异矩阵当A≠0时,A称为 非奇异矩阵 由此可得4是可逆阵的充要条件是A为非奇异矩阵
AA = A A = AE A E, A A A A A = = . 1 A A A − = 按逆矩阵的定义得 证毕 . 0 , , 0 , 非奇异矩阵 当A = 时 A称为奇异矩阵当A 时 A称 为 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义 由此可得A是可逆阵的充要条件是A为非奇异矩阵
推论若AB=E(或BA=E则B=A1 证明AB=E=1,故4≠0, 因而4存在,于是 B=EB=A AB=A-(AB =A-E=A 证毕 逆矩阵的运算性质 )若可逆则亦可逆且(4f)
A B = E = 1, 故 A 0, , 因而A −1存在 于是 B = EB (A A)B −1 = A (AB) −1 = 证毕 ( ), . −1 推论 若AB = E 或BA = E 则B = A 证明 (1) , , ( ) . 1 1 1 A A A = A − 若 可逆 则 − 亦可逆 且 − 逆矩阵的运算性质 1 A . − = 1 A E− =
(2)若A可逆数2≠0则A4可逆,且 (3)若A,B为同阶方阵且均可逆,则B亦可逆且 证明(4B)BA4)=A(BB)41 =AEA= AA=E (AB)=B14
( ) 2 若A可逆,数 0,则A可逆,且 (3)若A,B为同阶方阵且均可逆,则AB亦可逆,且 ( )( ) ( ) −1 −1 −1 −1 AB B A = A BB A −1 = AEA , 1 = AA = E − ( ) . −1 −1 −1 AB = B A 证明 ( ) = −1 ABB −1 −1 A ( ) . −1 1 −1 A = A