《线性代数》课程教学资源（PPT讲稿）矩阵的分块、矩阵的初等变换与标准形（初等行变换）、矩阵的秩概念

132矩阵的分块 矩阵的分块 对于行数和列数较高的矩阵A,为了 简化运算,经常采用分块法,使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算.具体做法是:将 矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵,每一个小矩阵称为A的子块,以子 块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵

1.3.2矩阵的分块 一、矩阵的分块 对于行数和列数较高的矩阵 ，为了 简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是：将 矩阵 用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵，每一个小矩阵称为 的子块，以子 块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵. A A A

1分块矩阵的定义:用若干条贯穿矩阵 A的纵线和横线将A分割,分出来的每 个小矩阵称为A的子块或子矩阵,以 子块为元素的矩阵称为分块矩阵。 例1: O 000O 10000O 003000 000 20 0 O0005O 00001

1.分块矩阵的定义：用若干条贯穿矩阵 A的纵线和横线将A分割，分出来的每 一个小矩阵称为A的子块或子矩阵，以 子块为元素的矩阵称为分块矩阵。 例1： 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 1 1      

100 0a00C1 10b1 011b 100 即A=0a00|=1C1C2 10b1(3C4 011b

              = b b a a A 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 , 3 4 1 2       = C C C C       =               A = a 1 C1 0 0 C2 0 1 1 0 0 a C3 b b 1 1 0 0 C4 即

二、分块矩阵的运算规则 (1设矩阵A与B的行数相同,列数相同,采用 相同的分块法,有 B B 4= B B B 其中4与B的行数相同列数相同那末 1+B1 A+ B A+B 1+B 1 sI A+B Sr

( ) 相同的分块法 有 设矩阵 与 的行数相同 列数相同 采用 , 1 A B , , 其中Aij与Bij的行数相同,列数相同,那末 . 1 1 1 1 1 1 1 1           + + + + + = s s sr sr r r A B A B A B A B A B     二、分块矩阵的运算规则           =           = s sr r s sr r B B B B B A A A A A         1 1 1 1 1 1 1 1

(2)设A= 为数,那末 141 4, ZA 4

(2)设 , 为数,那末 1 1 1 1            = s sr r A A A A A     . 1 1 1 1           = s sr r A A A A A         

例=2, 134 225 316 1×22×23×2 2A=3×22×21×2 4x25×26×2 642 81012

例           = 4 5 6 3 2 1 1 2 3  = 2, A 2 2 2 2 2 2 2 2 2                    = 4 5 6 3 2 1 1 2 3 2 A . 8 10 12 6 4 2 4 4 6           =

(3)设为mx矩阵B为×m矩阵分块成 It B B B B tr 其中41,412…,4的列数分别等孑B,B2,…Bn 的行数那末 11 AB 其中Cn=∑AkB(=1,…,s;j=1,… k

(3)设A为ml矩阵,B为l n矩阵,分块成 , , 1 1 1 1 1 1 1 1           =           = t tr r s st t B B B B B A A A A A         的行数 那 末 其 中 的列数分别等于 , , , , , , , Ai1 Ai 2  Ai t B1 j B2 j  Bi j           = s sr r C C C C AB     1 11 1 ( 1, , ; 1, , ). 1 C A B i s j r k j t k i j =  i k =  =  = 其 中

A T (4)设A= 则A= r (5)设A为m阶矩阵若的分块矩阵只有在主对角线 上有非零子块,其余子块都为零矩阵,且非零子块都 是方阵即

( ) 是方阵即 上有非零子块 其余子块都为零矩阵 且非零子块都 设 为 阶矩阵 若 的分块矩阵只有在主对角线 . , , 5 A n , A , 2 1               = As A A A  O O (4) , 1 1           = Asr A A     设 A1r As1 . 11           = T sr T T A A A     则 T As1 T A1r

A2 0 A= 其中A(i=1,2,…s)都是方阵那末称A为分块 对角矩阵 分块对角矩阵的行列式具有下述性质 A=A1A12…A

, 2 1               = As A A A  O O ( ) . 1,2, , 对角矩阵 其中 Ai i = s 都是方阵 那末称 A为分块 . A = A1 A2  As 分块对角矩阵的行列式具有下述性质:

●分块求逆(重点) 6没A= 0 若A1≠(=1,2,…,s,则4≠0,并有 0

若 Ai  0(i = 1,2,  ,s),则 A  0,并有 . 2 1               = As A A A  o o (6) , 2 1               = As A A A  设 o o −1 −1 −1 −1 分块求逆（重点）