Chap2行列式 §1.排列及逆序数 排列 引例:用1,2,3三个数字可以组成多少个没有重复数字的三 位数? 经过分析可以知道有个没有重复的三位数,即:123, 132,231,213,321,312。 th1:由n个不同数码1,2,3,…,n组成的有序数组, 称为一个n级排列。 如1234,2341为4级排列,25413为5级排列
Chap２行列式 §1.排列及逆序数 一、 排列 引例：用 1，2，3 三个数字可以组成多少个没有重复数字的三 位数？ 经过分析可以知道有个没有重复的三位数，即：123， 132，231，213，321，312。 如1234，2341为4级排列，25413为5级排列。 th1：由n个不同数码1,2,3,…,n组成的有序数组， 称为一个n级排列
说明:1)1个不同元素所有排列的种数有n!种; 2)排列2x.称为标准排列。 二、逆序逆序数 逆序:在n级排列中,若一个较大的数排在一个 较小的数前面,称为一个逆序。 逆序数:n级排列中逆序的总数称为逆序数,记为 (1,i2,…,in) 例1、0(2413)=;0(24153)=;∞(12345)=;0(36715284)=
二、 逆序 逆序数 逆序：在n 级排列中，若一个较大的数排在一个 较小的数前面，称为一个逆序。 说明：1）n 个不同元素所有排列的种数有n! 种； 2）排列1234 n称为标准排列。 逆序数： n 级排列中逆序的总数称为逆序数，记为 ( , ,..., ) 1 2 n i i i 。 例 1、 (2413) = ； (24153) = ； (12345) = ； (36715284 ) =
奇(偶)排列:逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆 序数为偶数的排列称为偶排列。 例2、求n级排列123.n及n级n(n-1).21排列的逆序数, 并判别是奇排列,还是偶排列? 对换 在一个n级排列ll2…,l中,若将其中两个数码对调, 其它数码不变,得到另一个排列,称为一个对换 如:h2…,3……,n经对换()得:l,42,…,l2…,43…,ln 24153对换(4,5)得25143;24153对换(2,1)得14253 Th2:任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。 如:24153对换(4,5)得25143,从一个偶排列 变为一个奇排列
奇（偶）排列：逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆 序数为偶数的排列称为偶排列。 例2、求n级排列123…n及n级n(n-1)…21排列的逆序数， 并判别是奇排列，还是偶排列？ 三、 对换 在一个n 级排列 n i ,i ,...,i 1 2 中，若将其中两个数码对调， 其它数码不变，得到另一个排列，称为一个对换。 如： s t n i ,i ,...,i ,...,i ,...,i 1 2 经对换( , ) s t i i 得： t s n i ,i ,...,i ,...,i ,...,i 1 2 24153 对换（4，5）得 25143；24153 对换（2，1）得 14253 Th2： 任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。 如：24153 对换（4，5）得 25143，从一个偶排列 变为一个奇排列
Th3:n个数码(n>1)共有n!个n级排列,其中奇偶排 列各占一半。 如:123,132,231,213,312,321 §2、n阶行列式定义 二阶行列式 12 记号1a2=a1a2-“表示代数和,称为二阶行列式 ∑(-1)ba1a2
Th3： n 个数码（n>1）共有 n! 个 n 级排列，其中奇偶排 列各占一半。 如：123，132，231，213，312，321 §2、n 阶行列式定义 一 、二阶行列式 记号 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a = − 表示代数和，称为二阶行列式 ＝ − 1 2 1 2 1 2 ( ) ( 1) j j N j j a a
二、三阶行列式 记号: a a2!a2a23=a123+a2a231+a132131 112232a1,l21 133-a13a2,a2 ∑(-1)ana214称为三阶行列式,记D 分析三阶行列式的结构: 1)项数:共6=3!项,每一项都是位于不同行不同列的 三个元素的乘积,且每一项可以表示为 行标:第一个下标123是1,2,3的标准排列; 列标:第二个下标/12是12,3的某个排列, a1;a2103这样的排列共有6=31种,对应6=3项
二 、三阶行列式 记号： 11 22 33 12 23 31 13 21 31 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31 ＝ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( ) ( 1) j j j N j j j − a a a 称为三阶行列式，记D3 分析三阶行列式的结构： 1）项数：共 6＝3！项，每一项都是位于不同行不同列的 三 个 元 素 的 乘 积 ， 且 每 一 项 可 以 表 示 为 1 2 3 a1 j a2 j a3 j 这样的排列共有 = 种，对应 = 项。 列标：第二个下标 是 ，，的某个排列， 行标：第一个下标 是 ，，的标准排列； 6 3! 6 3! 1 2 3 123 1 2 3 1 2 3 j j j
2)符号:3项正3项负: 即 (-)M/带正号的项列标排列的逆序数是偶数 带负号的项列标排列的逆序数是奇数, 12 于是 D2=l1a2a2=∑(1)4an 32a n阶行列式 Def:用n2个元素an,(,j=12.m),组成记号 12 n 21 n 称为n阶行列式,记Dn,(其中横 2 排称为行,纵排称为列)
2）符号：3 项正 3 项负： 即 − 带负号的 项列标排列的逆序数是奇数 带正号的 项列标排列的逆序数是偶数 3 3 ( 1) ( ) 1 2 3 N j j j ， 于是 = = − 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( ) 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 3 ( 1) j j j N j j j a a a a a a a a a a a a D 三、n阶行列式 Def ： 用 2 n 个元素 ai j ， (i, j = 1,2,...,n) ， 组 成 记 号 n n n n n n a a a a a a a a a ... ... ... ... ... ... ... 1 2 21 22 2 11 12 1 称 为n 阶行列式，记Dn ，（其中横 排称为行，纵排称为列）
n阶行列式表示这样项的代数和: 1)、项数:n个数字所有排列共!个,共有l!项,每 项是位于不同行不同列n个元素的乘积,且每一项可表示 为 2j2…mj 行标:第一个下标123…n是,2,…,n的标准排列; 列标:第二个下标ij2…是123,…,m的某个排 列,这样的排列有n种,对应n项 2)、符号:n项正n项负: (1y)带正号的项列标排列的逆序数是偶数 带负号的n项列标排列的逆序数是奇数 行列式的一般项为: (-1)O2=
n 阶行列式表示这样项的代数和： 1）、项数：n 个数字所有排列共n! 个，共有n! 项，每一 项是位于不同行不同列 n 个元素的乘积，且每一项可表示 为 n jn a j a j ...a 1 1 2 2 ! ! . 123 123 1 2 1 2 列，这样的排列有 种，对应 项 列标：第二个下标 是 ， ， 的某个排 行标：第一个下标 是 ，， ， 的标准排列； n n j j j n n n n 2）、符号：n 项正 n 项负： 即 − 带负号的 项列标排列的逆序数是奇数 带正号的 项列标排列的逆序数是偶数 n n n N( j j j ) 1 2 ( 1) 行列式的一般项为： n n j j n j N j j j ( 1) a a ...a 1 2 1 2 1 2 ( ... ) − ；
于是D=∑(- d1n22…O 即 12 ∑(-1)k 小22∴m f1…J取遍n级排列 2 注:(1)一个行列式有一行(或一列)的元素都为0,则行 列式为0; (2)一阶行列式aFa,n阶行列式有时简记为an
于是 n n j j nj N j j j Dn ( 1) a a ...a 1 2 1 2 1 2 ( ... ) = − ，即 n n n n n n a a a a a a a a a ... ... ... ... ... ... ... 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 n n n j j nj N j j j j j n ( 1) a a ...a 1 2 1 2 1 1 2 ( ... ) ... = − 取遍 级排列 。 注：（1）一个行列式有一行（或一列）的元素都为 0，则行 列式为 0； （2）一阶行列式| a |= a ，n 阶行列式有时简记为| | i j a
例5、考虑下列问题 1).有一个五阶行列式,a1a24a21as为其中一项,试确 定其符号; 2).设a1a23a34a425为五阶行列式的一项,取“一”号, 试确定i,j
例 5、考虑下列问题： 1）．有一个五阶行列式， 13 21 32 45 54 a a a a a 为其中一项，试确 定其符号； 2）．设 1 2 3 3 4 4 5 1 a a a a a i j 为五阶行列式的一项，取“－”号， 试确定i, j
例6、证明下三角行列式 000 D=la, a 33 0 ogden ≠0 同理上三角行列式: 12 D=00 3n=a1a2…a i=1.2. 0
例 6、证明下三角行列式： n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a D ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 ... 0 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 11 22 1 2 3 31 32 33 21 22 11 = = ，aii 0 ，i = 1,2,..., n 。 同理上三角行列式： n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a D ... 0 0 0 ... 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 ... ... 0 ... ... ... ... 33 3 11 22 22 23 2 11 12 13 1 = = ， 0 ii a ，i = 1,2,...,n