2000网易杯全国大学生数学建模竞赛题目(大专组 C题飞越北极 今年6月,扬子晚报发布消息:“中美航线下月可飞越北极,北京至底特律可节省4小时”,摘要如下 7月1日起,加拿大和俄罗斯将允许民航班机飞越北极,此改变可大幅度缩短北美与亚洲间的飞行时间, 旅客可直接从休斯敦,丹佛及明尼阿波利斯直飞北京等地。据加拿大空中交通管制局估计,如飞越北极 底特律至北京的飞行时间可节省4个小时。由于不需中途降落加油,实际节省的时间不止此数。 假设:飞机飞行高度约为10公里,飞行速度约为每小时980公里;从北京至底特律原来的航线飞经 以下10处 A1(北纬31度,东经122度) A2(北纬36度,东经140度) A3(北纬53度,西经165度) A4(北纬62度,西经150度) (北纬59度,西经140度) A6(北纬55度,西经135度) A7(北纬50度,西经130度) A8(北纬47度,西经125度) A8(北纬47度,西经122度) A10(北纬42度,西经87度)。 请对“北京至底特律的飞行时间可节省4小时“从数学上做出一个合理的解释,分两种情况讨论: 1、设地球是半径为6371千米的球体 2、设地球是一旋转椭球体,赤道半径为6378千米,子午线短半轴为6357千米。 D题空洞探测 山体、隧洞、坝体等的某些内部结构可用弹性波测量来确定。一个简化问题可描述为,一块均匀介质 构成的矩形平板内有一些充满空气的空洞,在平板的两个邻边分别等距地设置若干波源,在它们的对边对 等地安放同样多的接收器,记录弹性波由每个波源到达对边上每个接收器的时间,根据弹性波在介质中和 在空气中不同的传播速度,来确定板内空洞的位置。现考察如下的具体问题 块240(米)×240(米)的平板(如图),在AB边等距地设置7个波源P(=1,…,7),CD边对等 地安放7个接收器Q(产1,…,7),记录由P发出的弹性波到达的时间t(秒),在AD边等距地设置7 个波源R(i=1,…,7),BC边对等地安放7个接收器S(产1,…,7),记录由R发出的弹性波到达S的 时间ra(秒)。已知弹性波在介质和空气中的传播速度分别为2880(米/秒)和320(米/秒),且弹性波沿 板边缘的传播速度与在介质中的传播速度相同 1、确定该平板内空洞的位置 2、只根据由P发出的弹性波到达的时间t(i,产,…,⑦),能确定空洞的位置吗;讨论在同样能够
2000 网易杯全国大学生数学建模竞赛题目(大专组) C 题 飞越北极 今年 6 月，扬子晚报发布消息：“中美航线下月可飞越北极，北京至底特律可节省 4 小时”，摘要如下： 7 月 1 日起，加拿大和俄罗斯将允许民航班机飞越北极，此改变可大幅度缩短北美与亚洲间的飞行时间， 旅客可直接从休斯敦，丹佛及明尼阿波利斯直飞北京等地。据加拿大空中交通管制局估计，如飞越北极， 底特律至北京的飞行时间可节省 4 个小时。由于不需中途降落加油，实际节省的时间不止此数。 假设：飞机飞行高度约为 10 公里，飞行速度约为每小时 980 公里；从北京至底特律原来的航线飞经 以下 10 处： A1 (北纬 31 度，东经 122 度)； A2 (北纬 36 度，东经 140 度)； A3 (北纬 53 度，西经 165 度)； A4 (北纬 62 度，西经 150 度); A5 (北纬 59 度，西经 140 度)； A6 (北纬 55 度，西经 135 度)； A7 (北纬 50 度，西经 130 度)； A8 (北纬 47 度，西经 125 度)； A8 (北纬 47 度，西经 122 度)； A10 (北纬 42 度，西经 87 度)。 请对“北京至底特律的飞行时间可节省 4 小时“从数学上做出一个合理的解释，分两种情况讨论： 1、设地球是半径为 6371 千米的球体； 2、设地球是一旋转椭球体，赤道半径为 6378 千米，子午线短半轴为 6357 千米。 D 题 空洞探测 山体、隧洞、坝体等的某些内部结构可用弹性波测量来确定。一个简化问题可描述为，一块均匀介质 构成的矩形平板内有一些充满空气的空洞，在平板的两个邻边分别等距地设置若干波源，在它们的对边对 等地安放同样多的接收器，记录弹性波由每个波源到达对边上每个接收器的时间，根据弹性波在介质中和 在空气中不同的传播速度，来确定板内空洞的位置。现考察如下的具体问题： 一块 240（米）×240（米）的平板（如图），在 AB 边等距地设置 7 个波源 Pi (i=1,…,7)，CD 边对等 地安放 7 个接收器 Qj (j=1,…,7)，记录由 Pi发出的弹性波到达 Qj的时间 tij(秒); 在 AD 边等距地设置 7 个波源 Ri (i=1，…，7)，BC 边对等地安放 7 个接收器 Sj (j=1，…，7)，记录由 Ri发出的弹性波到达 Sj的 时间τij (秒)。已知弹性波在介质和空气中的传播速度分别为 2880（米/秒）和 320（米/秒），且弹性波沿 板边缘的传播速度与在介质中的传播速度相同。 1、确定该平板内空洞的位置。 2、只根据由 Pi发出的弹性波到达 Qj的时间 tij(i,j=1,…,7)，能确定空洞的位置吗；讨论在同样能够 Qj A B D C Pi Ri Sj
确定空洞位置的前提下,减少波源和接受器的方法 P10.06110.08950.1996 20320.41810.49230.5646 P0.09890.05920.44130.4318047700.52420.3805 P0.30520.41310.05980.41530.415610.3560.1919 P40.32210.44530.404000738017890.07400.2122 B0.3490045290.22630.19170.08390.17680,1810 P60.3807031770.2364 0.30640 9390.1031 20.4310.3970.356610.1954 0.07600.06880.1042 R10.06450.06020.081303516038670.43140.5721 R0.0753007000.28520.43410.3491_048000.4980 0.34560.32050.09740.4093042400.45400.3112 R0.3655032890.42470.10070.3249021340.1017 R50.3165024090.32140325600904018740.2130 R0.2749038910.58950.3016〖0.2058008410.0706 R70.44340.49190.39040.07860.07090.09140.0583
确定空洞位置的前提下，减少波源和接受器的方法。 tij Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 P1 0.0611 0.0895 0.1996 0.2032 0.4181 0.4923 0.5646 P2 0.0989 0.0592 0.4413 0.4318 0.4770 0.5242 0.3805 P3 0.3052 0.4131 0.0598 0.4153 0.4156 0.3563 0.1919 P4 0.3221 0.4453 0.4040 0.0738 0.1789 0.0740 0.2122 P5 0.3490 0.4529 0.2263 0.1917 0.0839 0.1768 0.1810 P6 0.3807 0.3177 0.2364 0.3064 0.2217 0.0939 0.1031 P7 0.4311 0.3397 0.3566 0.1954 0.0760 0.0688 0.1042 τij S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 R1 0.0645 0.0602 0.0813 0.3516 0.3867 0.4314 0.5721 R2 0.0753 0.0700 0.2852 0.4341 0.3491 0.4800 0.4980 R3 0.3456 0.3205 0.0974 0.4093 0.4240 0.4540 0.3112 R4 0.3655 0.3289 0.4247 0.1007 0.3249 0.2134 0.1017 R5 0.3165 0.2409 0.3214 0.3256 0.0904 0.1874 0.2130 R6 0.2749 0.3891 0.5895 0.3016 0.2058 0.0841 0.0706 R7 0.4434 0.4919 0.3904 0.0786 0.0709 0.0914 0.0583