引言 在自然科学和工程技术中很多问题的解决 常常归结为解线性代数方程组。例如电学中的 网络问题,船体数学放样中建立三次样条函数 问题,用最小二乘法求实验数据的曲线拟合 题,解非线性方程组问题,用差分法或者有限 元法解常微分方程,偏微分方程边值问题等都 导致求解线性方程组,而且后面几种情况常常 归结为求解大型线性方程组。 线性代数方面的计算方法就是研究求解线 性方程组的一些数值解法与研究计算矩阵的特 征值及特征向量的数值方法
引言 在自然科学和工程技术中很多问题的解决 常常归结为解线性代数方程组。例如电学中的 网络问题,船体数学放样中建立三次样条函数 问题,用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问 题,解非线性方程组问题,用差分法或者有限 元法解常微分方程,偏微分方程边值问题等都 导致求解线性方程组,而且后面几种情况常常 归结为求解大型线性方程组。 线性代数方面的计算方法就是研究求解线 性方程组的一些数值解法与研究计算矩阵的特 征值及特征向量的数值方法
引言 关于线性方程组的数值解法一般有两类。 直接法:经过有限步算术运算,可求得方程 组的精确解的方法(若在计算过程中没有舍 入误差) ■迭代法:用某种极限过程去逐步逼近线性方 程组精确解的方法 迭代法具有占存储单元少,程序设计简单, 原始系数矩阵在迭代过程中不变等优点,但 存在收敛性及收敛速度等问题
引言 ◼ 关于线性方程组的数值解法一般有两类。 ◼ 直接法:经过有限步算术运算,可求得方程 组的精确解的方法(若在计算过程中没有舍 入误差) ◼ 迭代法:用某种极限过程去逐步逼近线性方 程组精确解的方法 迭代法具有占存储单元少,程序设计简单, 原始系数矩阵在迭代过程中不变等优点,但 存在收敛性及收敛速度等问题
3.1高斯消元法 ■设线性方程组 x1+a12x2+…+anxn=b1 x1+a2X2十.+a2nx nn ax taax tax b 简记AX=b
3.1 高斯消元法 ◼ 设线性方程组 ◼ 简记 AX=b + + + = + + + = + + + = n n n n n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ...... ...... ...... ...... 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1
高斯消元法 ■其中 12 n a= 2 n×n n 2 nn X T, b=b
高斯消元法 ◼ 其中 T n T n i j n n n n n x x x b b b a a a a a a a a a a x b 1 2 1 2 n1 n2 n 2 1 2 2 2 11 12 1 , A ( ) = = = =
高斯消元法 G1m法则:x=D21=12.,n,其中 D=de(A)≠0,D=de(A1),A是A的第 i列用b代替所得。 ■克莱姆法则在理论上有着重大意义,但 在实际应用中存在很大的困难,在线性 代数中,为解决这一困难给出了高斯消 元法
高斯消元法 ◼ 克莱姆法则在理论上有着重大意义,但 在实际应用中存在很大的困难,在线性 代数中,为解决这一困难给出了高斯消 元法。 列用 代替所得。 , , 是 的第 法则: ,其中 i b D A A A i n D D Gramer x i i i i i D det(A) 0 det( ) 1,2,..., = = = =
例题 ■例1.用消元法解方程组 +x2+x2=6 4x2-x2=5 2x1-2x2+x3=1 (3)
例题 ◼ 例1.用消元法解方程组 − + = − = + + = 2 2 1 (3) 4 5 (2) 6 (1) 1 2 3 2 3 1 2 3 x x x x x x x x
例题 n第一步:-2X(1)+(3)得 x+x2+x3=6 4 X -X 4 (4)
例题 ◼ 第一步:-2 x(1)+(3)得 − − = − − = + + = 4 11 (4) 4 5 (2) 6 (1) 2 3 2 3 1 2 3 x x x x x x x