第3章 解线性方程组的数值解法
第3章 解线性方程组的数值解法
引言 在自然科学和工程技术中很多问题的解决 常常归结为解线性代数方程组。例如电学中的 网络问题,船体数学放样中建立三次样条函数 问题,用最小二乘法求实验数据的曲线拟合 题,解非线性方程组问题,用差分法或者有限 元法解常微分方程,偏微分方程边值问题等都 导致求解线性方程组,而且后面几种情况常常 归结为求解大型线性方程组。 线性代数方面的计算方法就是研究求解线 性方程组的一些数值解法与研究计算矩阵的特 征值及特征向量的数值方法
引言 在自然科学和工程技术中很多问题的解决 常常归结为解线性代数方程组。例如电学中的 网络问题，船体数学放样中建立三次样条函数 问题，用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问 题，解非线性方程组问题，用差分法或者有限 元法解常微分方程，偏微分方程边值问题等都 导致求解线性方程组，而且后面几种情况常常 归结为求解大型线性方程组。 线性代数方面的计算方法就是研究求解线 性方程组的一些数值解法与研究计算矩阵的特 征值及特征向量的数值方法
引言 关于线性方程组的数值解法一般有两类。 直接法:经过有限步算术运算,可求得方程 组的精确解的方法(若在计算过程中没有舍 入误差) ■迭代法:用某种极限过程去逐步逼近线性方 程组精确解的方法 迭代法具有占存储单元少,程序设计简单, 原始系数矩阵在迭代过程中不变等优点,但 存在收敛性及收敛速度等问题
引言 ◼ 关于线性方程组的数值解法一般有两类。 ◼ 直接法：经过有限步算术运算，可求得方程 组的精确解的方法（若在计算过程中没有舍 入误差） ◼ 迭代法：用某种极限过程去逐步逼近线性方 程组精确解的方法 迭代法具有占存储单元少，程序设计简单， 原始系数矩阵在迭代过程中不变等优点，但 存在收敛性及收敛速度等问题
3.1高斯消元法 ■设线性方程组 x1+a12x2+…+anxn=b1 x1+a2X2十.+a2nx nn ax taax tax b 简记AX=b
3.1 高斯消元法 ◼ 设线性方程组 ◼ 简记 AX=b + + + = + + + = + + + = n n n n n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ...... ...... ...... ...... 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1
高斯消元法 ■其中 12 n a= 2 n×n n 2 nn X T, b=b
高斯消元法 ◼ 其中 T n T n i j n n n n n x x x b b b a a a a a a a a a a x b 1 2 1 2 n1 n2 n 2 1 2 2 2 11 12 1 , A ( ) = = = =
高斯消元法 G1m法则:x=D21=12.,n,其中 D=de(A)≠0,D=de(A1),A是A的第 i列用b代替所得。 ■克莱姆法则在理论上有着重大意义,但 在实际应用中存在很大的困难,在线性 代数中,为解决这一困难给出了高斯消 元法
高斯消元法 ◼ 克莱姆法则在理论上有着重大意义，但 在实际应用中存在很大的困难，在线性 代数中，为解决这一困难给出了高斯消 元法。 列用 代替所得。 ， ， 是 的第 法则： ，其中 i b D A A A i n D D Gramer x i i i i i D det(A) 0 det( ) 1,2,..., = = = =
例题 ■例1.用消元法解方程组 +x2+x2=6 4x2-x2=5 2x1-2x2+x3=1 (3)
例题 ◼ 例1.用消元法解方程组 − + = − = + + = 2 2 1 (3) 4 5 (2) 6 (1) 1 2 3 2 3 1 2 3 x x x x x x x x
例题 n第一步:-2X(1)+(3)得 x+x2+x3=6 4 X -X 4 (4)
例题 ◼ 第一步：-2 x（1）+(3)得 − − = − − = + + = 4 11 (4) 4 5 (2) 6 (1) 2 3 2 3 1 2 3 x x x x x x x
例题 ■第二步:1x(2)+(4) x,+x+x,=6 (1) Xo -x 2x2=-6 (5) 回代得:x=[1,23J
例题 ◼ 第二步：1 x（2）+（4） ◼ 回代得：x=[1,2,3]T − = − − = + + = 2 6 (5) 4 5 (2) 6 (1) 3 2 3 1 2 3 x x x x x x
3.1.1高斯顺序消元法 ■下三角形方程求解 设 X,+ (1) Lx, +lxt+lx nn n 其中,l≠0,i=1,2,,n
3.1.1 高斯顺序消元法 ◼ 下三角形方程求解 设 （1） l i n l x l x l x b l x l x b l x b i i n n n n n n 0, 1,2,..., ... ...... 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 = + + + = + = = 其中