§4.5曲线的凹性与拐点 函数f(x)的单调性与极值是函数的重要性态如图: 曲线弧AB是单增的曲线.但从4到C的曲线是向下弯 (或凸)的;从C到B的曲线是向上弯(或凹)的.显然,曲线 的弯曲方向和弯曲方向的转变点对我们研究函数的性 态是十分重要的这就是下面讨论的凹性与拐点
1 函数ƒ(x)的单调性与极值是函数的重要性态.如图: 曲线弧AB是单增的曲线. 但从A到C的曲线是向下弯 (或凸)的; 从C到B的曲线是向上弯(或凹)的. 显然, 曲线 的弯曲方向和弯曲方向的转变点对我们研究函数的性 态是十分重要的. 这就是下面讨论的凹性与拐点. §4.5 曲线的凹性与拐点 B A • C
曲线的凹性 定义1设函数y=f(x)在区间(a,b)内可导.若 该函数曲线在(a,b)内总是位于其上任意一点 的切线上方,则称该曲线在(a,b)内是上凹的; 区间(a,b)为该曲线的上凹区间 y=f(r)
2 定义1 设函数 y = ƒ(x)在区间(a , b)内可导. 若 该函数曲线在(a, b)内总是位于其上任意一点 的切线上方, 则称该曲线在 (a, b)内是上凹的; 区间(a, b)为该曲线的上凹区间. o x y y =ƒ(x) 一.曲线的凹性
若该函数曲线在(a,b内总是位于 其上任意一点的切线下方,则称该曲线 在(a,b内是下凹的;区间a,b为该 曲线的下凹区间 人们常将曲线所具有的上凹或下凹的性质称为曲线 的凹性定义1的等价定义为 定义1′若曲线y=f(x)在区间(a,b)内连续, x1≠x2∈(a,b),均有f( )>(或<)[f(x1)+f(x2 则称曲线在该区间内是下(上凹的
3 若该函数曲线在(a , b)内总是位于 其上任意一点的切线下方, 则称该曲线 在(a , b)内是下凹的; 区间(a , b)为该 曲线的下凹区间. 人们常将曲线所具有的上凹或下凹的性质称为曲线 的凹性. 定义1的等价定义为 o x y y=ƒ(x) 定义 1 若曲线y = ƒ(x)在区间(a, b)内连续, 1 2 1 2 1 2 1 ( , ), ( ) ( ) [ ( ) ( )] 2 2 x x x x a b f f x f x + + 均有 或 则称曲线在该区间内是下 (上)凹的
y=f(x) 不B B cU(x)+f(r) f(x)+f(x2) x,+x B 显然用定义来判别曲线的凹性是极不方 便的.由定义1知下凹曲线从点A移到点B时, 对应的切线斜率∫(x)单调减少的 B 而上凹曲线从点4移到点B时,对应的切线斜率 ∫(x)单调增加的.从而当∫"(x)存在时,则可用 阶导数的符号来判别曲线的凹性
4 o x y • • A B o x y A • B • 1 x 1 x2 x 2 x 1 2 2 x x + 1 2 1 [ ( ) ( )] 2 f x f x + 1 2 2 x x + 1 2 1 [ ( ) ( )] 2 f x f x + 显然用定义来判别曲线的凹性是极不方 便的. 由定义1知下凹曲线从点 A移到点 B 时, 对应的切线斜率 单调减少的. A A B B f x ( ) f x ( ) 而上凹曲线从点A移到点B时, 对应的切线斜率 单调增加的. 从而当 存在时, 则可用 二阶导数的符号来判别曲线的凹性. f x ( ) y = ƒ(x) y = ƒ(x)
定理11设函数y=f(x)在区间(a,b)内具有二阶导数,则 (1)x∈(a,b)均有f(x)>0曲◆y=f(x)在(a,b)◆是上凹的 (2)∨x∈(a,b)均有∫”(x)0即可 xo, f(ro)) ◆∷x∈(a,b),∫(x)存在,∫"(x)存在 曲线y=f(x)上任意一点(x(x)的切线方程为5xb y=f(x)+f(x0)(x-x0) 设(,f(x)为曲线上的另一个任意点,则 由f(x)在x与之间满足拉格朗日中值定理
5 定理11 设函数y = ƒ(x)在区间(a , b)内具有二阶导数, 则 (1) ( , ), ( ) 0, ( ) ( , ) = x a b f x y f x a b 均有 曲 在 是上凹的 + – o x y a • • b y= ƒ(x) • 0 0 ( , ( )) x f x ( , ( )) x f x ( , ) x y 0 x x ?分析: 只需证明 f x y ( ) 0 − 即可. : ( , ), ( ) ( ) x a b f x f x 存在, 存在 } 0 0 曲线 上任意一点 的切线方程为 y f x x f x = ( ) ( , ( )) 0 0 0 ( ) ( )( ) y f x f x x x = + − 设 为曲线上的另一个任意点 则 ( , ( )) , x f x 0 由 在 与 之间满足拉格朗日中值定理 ( ) f x x x (2) ( , ), ( ) 0, ( ) ( , ) = x a b f x y f x a b 均有 则曲线 在 内是下凹的
得f(x)=f(x)+f(x0+的△x)△x(00,f(x)在(a,b)内单调增加 当Ax0时,有f(x+x)-f(x)>0 VAx≠0,恒有f(X)-j>0 则由点(x0,f(x0)与(,f(X)的任意性知 曲线=f(x)在(a,b)内是上凹的同理可证(2)
6 0 0 0 得 ( ) ( ) ( ) (0 1, ) f x f x f x x x x x x = + + = − 且切线上对应点的纵坐标 必满足 y 0 0 y f x f x x = + ( ) ( ) 0 0 f x y f x x f x x ( ) [ ( ) ( )] (0 1). − = + − ( ) 0, ( ) ( , ) f x f x a b 在 内单调增加 0 0 + − 当 时 有 x f x x f x 0 , ( ) ( ) 0 − x f x y 0, ( ) 0. 恒有 0 0 则由点 与 的任意性知 ( , ( )) ( , ( )) x f x x f x 曲线 在 内是上凹的同理可证 y f x a b = ( ) ( , ) . (2). 0 0 当 时 有 + − x f x x f x 0 , ( ) ( ) 0
曲线的拐点的定义 定义2设函数y=f(x)在区间(ab内连续, y= f(x) 则曲线y=f(x)在该区间内上凹从A到 与下凹(从C到B部分的分界点Cc,f(c)称 为曲线的拐点 注1:拐点是曲线上的点,从而拐点的坐标需用横坐标与 纵坐标同时表示不能仅用横坐标表示这与驻点及极值 点的表示方法不一样 例30判断曲线y=x2,y=x3的凹性,并求其拐点 解∵(x2)y=2x,(x2)”=2>0 曲线y=x2在(-∞,+0)内上凹的
7 o x y y= ƒ(x) a A B c b C 二.曲线的拐点的定义 定义2 设函数 y = ƒ(x)在区间(a, b)内连续, 则曲线 y = ƒ(x) 在该区间内上凹(从 A 到 C) 与下凹 (从C到B)部分的分界点C(c, ƒ(c))称 为曲线的拐点. 注1:拐点是曲线上的点,从而拐点的坐标需用横坐标与 纵坐标同时表示,不能仅用横坐标表示.这与驻点及极值 点的表示方法不一样. 例30 判断曲线 的凹性, 并求其拐点. 2 3 y x y x = = , 2 2 解 ( ) 2 , ( ) 2 0 x x x = = 2 = − + 曲线 在 内上凹的 ( , ) . y x • o x y 2 y x = •
3x2ay=6x>0当x>0 0,￥x<0 曲线y=x2在(∞内下凹的在0+)内上凹的 点(0,0)是曲线y=x的拐点 注2:由拐点的定义知要讨论曲线的凹性须先寻找它的拐 点那么拐点在哪些点之中去寻找呢? 定理12拐点的必要条件)若函数y=f(x)在x处的二阶导数 f(xn)存在,且点(xn,f(x)为曲线y=f(x的拐点,则f"(x)=0 证∵(xn,f"(xn))为曲线的拐点,则点x0的两侧f"(x)异号, 且由已知"(x)存在,则f"(x)=0
8 3 2 ( ) 3 x x = 3 0, 0 ( ) 6 0, 0 x x x x = 当 当 3 曲线 在 内下凹的 在 内上凹的 ( ,0) ; (0, ) y x = − + 3 点 是曲线 的拐点 (0,0) . y x = 注2:由拐点的定义知,要讨论曲线的凹性须先寻找它的拐 点.那么拐点在哪些点之中去寻找呢? • o x y 3 y x = 定理12 (拐点的必要条件) 若函数 y = ƒ(x)在 处的二阶导数 存在, 且点 为曲线y = ƒ(x)的拐点, 则 0 x 0 f x ( ) 0 0 ( , ( )) x f x 0 f x ( ) 0. = 0 0 0 0 证 ( , ( ) ) , ( ) , x f x x f x 为曲线的拐点 则点 的两侧 异号 0 且由已知 存在, 则 f x ( ) 0 f x ( ) 0 =
注3:所确定的点(x,f(x)不一定是拐点如y=x4即 f"(xn)=0是点为(x,f(x)拐点的必要条件而非充分条件 即这些点只是可能的拐点,是否真为拐点呢? 定理13若函数y=f(x)在x处f"(xn)=0且在x两 侧的二阶导数变号,则点(x0,f(x)为曲线y=f(x)的 拐点在(x,f(x)两侧的二阶导数保号,则点x不 为曲线y=f(x)的拐点
9 注3: 所确定的点 ( , ( )) x f x 0 0 不一定是拐点.如 即 0 f x ( ) 0 = 0 0 ( , ( )) x f x 4 y x = 即这些点只是可能的拐点, 是否真为拐点呢? 是点为 拐点的必要条件而非充分条件. 定理13.若函数 y = ƒ(x)在 处 且在 两 侧的二阶导数变号, 则点 为曲线 y = ƒ(x)的 拐点. 在 两侧的二阶导数保号, 则点 不 为曲线 y = ƒ(x)的拐点. 0 x 0 f x ( ) 0 = 0 0 ( , ( )) x f x 0 x 0 ( , ( )) x f x 0 0 x
注4:有两种特殊情形要注意 1)f(x)在x。处一阶导数存在而二阶导数不存在.如果在点 左右邻近二阶导数存在且符号相反,则(xn,f(xn)为拐点; 若符号相同,x测则不是拐点 (2)∫(x在x处连续,而一、二阶导数都不存在.如果 在点x左右邻近二阶导数存在且符号相反,则(x,f(x)为拐 点;若符号相同,则不是拐点
10 注4:有两种特殊情形要注意: (1)ƒ(x)在 处一阶导数存在而二阶导数不存在. 如果在点 左右邻近二阶导数存在且符号相反, 则 为拐点; 若符号相同, 则不是拐点. 0 x x0 0 0 ( , ( )) x f x 0 x 0 x 0 0 ( , ( )) x f x (2) ƒ(x)在 处连续, 而一、二阶导数都不存在. 如果 在点 左右邻近二阶导数存在且符号相反, 则 为拐 点; 若符号相同, 则不是拐点