西南财经大学：《经济数学基础（微积分）》课程教学资源（PPT课件）第五章 不定积分 第4节 有理函数及三角函数有理式的积分

§54有理函数及三角函数有理式的积分 有理函数的积分 定义3有理函数是指可以表示成两个多项式的商的形式 的函数.即 f(x) P(x)ax+a1x1+…+an Qn(x)bxm+bxm+…+bn 其中m,n是非负整数,a1(=12,…,n)与b(1=1,2,…,m)为常数 且a≠0,b0≠0.P1(x)Qn(x)互质 当n<m时,R(x)为真分式 当n≥m时,f(x)为假分式,利用多项式的除法,总可 化为一个多项式与一个真分式之和

1 §5.4 有理函数及三角函数有理式的积分 1 0 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) n n n n m m m m P x a x a x a f x Q x b x b x b             ( 1, 2, , ) ( 1, 2, , ) i j a i   n 与b j   m 为常数 0 0 且a  0, b  0. ( ), ( ) Pn m x Q x 的函数. 即 一.有理函数的积分 定义3 有理函数是指可以表示成两个多项式的商的形式 其中m, n是非负整数, 互质. 当n  m时, ƒ(x)为假分式, 利用多项式的除法, 总可 化为一个多项式与一个真分式之和. 当n < m时, R(x)为真分式;

树20f(x) 多项式的积分问题已解决,故本节重点讨论真分式的 积分法.为此需注意以下几个问题 1由代数学知,任何多项式Qn(x)在实数范围内总能分 解成一次因式和二次质因式的乘积,即 b(x-a)…(x-b)(x2+px+q)2…(x2+rx+0) 其中b,a,…b,P,q,…,F,为常数;k…,S,a2…,B为正整 数,且k+…++2a+…+2B=m1p2-4q<0,…,r2-4<0

2 4 3 3 1 ( ) 1 1 1 x x x f x x x x         例20 多项式的积分问题已解决, 故本节重点讨论真分式的 积分法. 为此需注意以下几个问题: 1.由代数学知, 任何多项式 在实数范围内总能分 解成一次因式和二次质因式的乘积, 即 ( ) Qm x 2 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k s Qm x b x a x b x px q x rx t            其中 为常数; k…, s‚ α ,…, β为正整 数,且 0 b , a,,b, p, q,,r,t 2 2 k  s  2  2  m; p  4q  0,,r  4t  0

2任何一个真分式(x) Qm()均可唯一地分解为若干个部分 分式之和 例21求2x-1 dx 2-5x+6 解因 x 5x+6(x-3)(x-2) 设 AB追分A(x-2)+B(x-3 5x+6x-3x-2 5x+6 比较等式两端x同次幂的系数,得 A+B=2 A=5 12 . A+3B B=-3

3 2.任何一个真分式 均可唯一地分解为若干个部分 分式之和. ( ) ( ) n m P x Q x 2 2 1 5 6 x dx x x   例 求  21 解 2 2 1 2 1 5 6 ( 3)( 2) x x x x x x        因 2 2 2 1 ( 2) ( 3) 5 6 3 2 5 6 x A B A x B x x x x x x x              通分 设 比较等式两端x同次幂的系数,得 2 5 2 3 1 3 A B A A B B              

x dx 5x+5 5lnlx-3-3Inlx-2+C x 例22求 dx 4x2-20x+31 解原式 dx d(2x-5 (2x-5)2+62J(2x-5)2+(6)2 x arctan +c

4 2 2 1 5 3 5 5 3 2 x dx dx dx x x x x        则     5ln x  3  3ln x  2 C 5 3 ( 3) ln 2) x C x     2 (2 5) 6 dx x    解 原式  2 4 20 31 dx x  x  求  2 2 1 (2 5) 2 (2 5) ( 6) d x x      1 2 5 arctan 2 6 6 x C    例22

例23求 "+x- dx 解设 2x3+x Ax+b cx+ d 1+x2)21+x2(1+x 通分(Ax+B1+x2)+(Cx+D) x 比较等式两端x同次幂的系数,得 A=2 A=2 B=0 B=0 A+C=1 B+D=-1 D=-1

5 3 2 2 2 2 2 2 1 (1 ) 1 (1 ) x x Ax B Cx D x x x          解 设 3 2 2 2 1 (1 ) x x dx x   例 求  23 比较等式两端x同次幂的系数,得 2 2 0 0 1 1 1 1 A A B B A C C B D D                         22 2 ( )(1 ) ( ) (1 ) Ax B x Cx D x       通分

2x3+x-1 x+1 于 dx Jdx (1+x 1+x2(1+ d(1+x)I rd(+x)dx (1+ dx In 1+x+ 2(1+x2)J(1+x dx (1+x 2 2 x= tan t cos tdt==(1+cos 2t )dt t+-sin 2t+C=-arctanx+ x +c 2(1+x2) 2x3+x dx=In 1+x x +r2 arctan+C

6 3 2 2 2 2 2 2 1 2 1 , [ ] (1 ) 1 (1 ) x x x x dx dx x x x         于是   2 2 2 2 2 2 2 (1 ) 1 (1 ) 1 2 (1 ) (1 ) d x d x dx x x x            2 2 2 2 1 ln 1 2(1 ) (1 ) dx x x x        2 2 2 1 tan cos (1 cos 2 ) (1 ) 2 dx x t tdt t dt x     而   2 1 1 1 sin 2 arctan 2 4 2 2(1 ) x t t C x C x        3 2 2 2 2 2 1 1 1 ln 1 [ arctan ] (1 ) 2 1 x x x dx x x C x x           则 

二.三角函数有理式的积分 当被积函数为三角函数有理式时,有时采用“万能代换” 更加有利于不定积分的计算。 特别地,当被积函数中的正、余弦函数的角变量为x Qu 或2x时,通常设u=tan,则有sinx 1+l Qu COSX tan x 便可使计算得以简化 1+L 或令=tanx亦可。 例24求 sinx+ tan x

7 二.三角函数有理式的积分 当被积函数为三角函数有理式时，有时采用“万能代换” 更加有利于不定积分的计算。 特别地，当被积函数中的正、余弦函数的角变量为x 或2x时，通常 便可使计算得以简化。 tan 2 x 设 u  ，则有 2 2 sin , 1 u x u   2 2 1 cos , 1 u x u    或令 u  tan x 亦可。 2 2 tan , 1 u x u   例24 sin tan dx x  x 求 

设u=tan-,则有sinx= tanx 1+l edu dx 1+ edu dx 1+l sinx+ tanx Qu Qu Qu +u u du==InJu In tan ---tan=+C

8 2 2 1 du dx u    sin tan dx x  x  tan 2 x 解 设 u  ，则有 2 2 sin , 1 u x u   2 2 tan , 1 u x u   2 2 2 2 1 2 2 1 1 du u u u u u     ＋ － 2 1 2 u du u   1 1 ( ) 2 u du u    2 1 ln 2 4 u  u   C 1 1 2 ln tan tan 2 2 4 2 x x   C