第九章二重积分 第六章学习的定积分是元函数y=f(x)在闭区间[a,b 上的积分;下面我们来学习二元函数在有界闭区域D上的 积分,即二重积分 本章用定积分的基本思想去建立二重积分的概念, 推导它的计算公式,研究它的计算方法 在定积分的应用中,已给出了一些特殊立体(截面面积 已知的立体和旋转体)体积的计算方法;但对于一般立体的 体积问题却仍不会处理
1 第六章学习的定积分是一元函数y=ƒ(x)在闭区间[a,b] 本章用定积分的基本思想去建立二重积分的概念， 已知的立体和旋转体)体积的计算方法;但对于一般立体的 第九章 二重积分 上的积分；下面我们来学习二元函数在有界闭区域D上的 积分，即二重积分. 推导它的计算公式，研究它的计算方法. 在定积分的应用中,已给出了一些特殊立体(截面面积 体积问题却仍不会处理
第九章二重积分 §9.1二重积分的概念 §9.2在直角坐标系下二重积分的计算 §9.3二重积分的换元法 §94在极坐标系下二重积分的计算 §9.5无界区域上的二重积分
2 第九章 二重积分 §9.1 二重积分的概念 §9.2 在直角坐标系下二重积分的计算 §9.3 二重积分的换元法 §9.4 在极坐标系下二重积分的计算 §9.5 无界区域上的二重积分 ( , ) ? D f x y dxdy
定义1设有一立体是由底、侧面、顶三部分围成;其 中底是x平面上的一个有界闭区域D,侧面是以D的边界 曲线C为准线、母线平行于轴的柱面,顶是一曲面,其 方程为=f(xy)(xy)∈D,连续且f(xy)≥0 则称此立体为曲顶柱体 分析 因平顶柱体体积为“底面积×高 但对于曲顶柱体因其高f(xy)是 个变量,其体积就不能用 “底面积×高” 来定义和计算了;
3 中底是xy平面上的一个有界闭区域D, z y O x D C z=ƒ(x,y) (x,y) 分析： 定义1 设有一立体是由底、侧面、顶三部分围成；其 方程为z=ƒ(x,y) (x,y)∈D, 连续且ƒ(x,y) ≥0. 侧面是以D的边界 曲线C为准线、 母线平行于z轴的柱面, 顶是一曲面，其 则称此立体为曲顶柱体. 但对于曲顶柱体因其高ƒ(x,y) 是 因平顶柱体体积为“底面积×高” 来定义和计算了； 个变量，其体积就不能用 “底面积×高
但由f(xy)的连续性知 二=f(xy) 从整个定义域来看“高是变化的”; 但从某点的某个充分小邻域局部范 围内来看△→0,即高可“看成”9 不变; x x, 此时在此邻域内对应的曲顶柱体体积就近似于平顶 柱体之体积; 故整个曲顶柱体之体积就近似于全部小平顶柱体的 体积之和
4 但从某点的某个充分小邻域局部范 z y O x D C z=ƒ(x,y) (x,y) 但由ƒ(x,y)的连续性知： 从整个定义域来看“高是变化的” ； 围内来看∆z→0，即高可“看成” 不变； 体积之和. 此时在此邻域内对应的曲顶柱体体积就近似于平顶 柱体之体积； 故整个曲顶柱体之体积就近似于全部小平顶柱体的
下面仍用定积分求曲边梯形面积的思想方法一样来 求曲顶柱体体积: 1分割 用一组曲线网任意地将区域D分成n个小区域(如图) △G1,△2,…△Gn 并以△a表示第个小区域的面积;
5 下面仍用定积分求曲边梯形面积的思想方法一样来 1 2 , , n i 求曲顶柱体体积： 1.分割 用一组曲线网任意地将区域D分成n个小区域(如图) 并以 表示第i个小区域的面积 ； x y O i
再以各小区域的边界为准线, 作母线平行于轴的曲顶柱体 相应地把原曲顶柱体分割成 n个小曲顶柱体; 设所求体积为V,并设第个小曲顶柱体体积为△ 则 V=△V
6 n个小曲顶柱体; , Vi z y O x D i 再以各小区域 的边界为准线， 作母线平行于z轴的曲顶柱体； 相应地把原曲顶柱体分割成 设所求体积为V, 并设第i个小曲顶柱体体积为 则 1 n i i V V
以平代曲,近似代替 (5,n,f(52) 在每个小区域△a,(i=1,2…,n) 内任取一点(51),并以f()为高 △a为底作平顶柱体,其体积为 f(5,n) →△V≈f(,n)△a(=1,2,…,n) V≈∑f(5,n)△a
7 2. 以平代曲，近似代替 ( 1,2, , ) i i n ( , ), i i ( , ) , i i 并以 f 为高 ( , ) i i i f ( , ) ( 1 2 ) Vi i i i f i , ,,n 内任取一点 ~ y O x ( , , ( , )) i i i i f ( , ) i i D i 1 ( , ) n i i i i V f 在每个小区域 , i为底作平顶柱体 其体积为
3求和取极限 令d表示△内任意两点间距离的最大值 (称为该区域的直径又令 d=max, 若当d→>0时(此时必有n→∞,但n→不能保证有d→0), 有V=m∑/(,m)40存在, 则定义此极限为曲顶柱体之体积 注1这种和式的极限的应用极广;各个领域中的不少 问题通常都要化为这种和式的极限;我们常把这种和 式的极限称为二重积分
8 3.求和取极限 1 max , i i n d d 若当d→0时(此时必有n→∞,但n→∞不能保证有d→0), i i 令d 表示 内任意两点间距离的最大值 (称为该区域的直径),又令 x y O i 则定义此极限为曲顶柱体之体积. 0 1 lim ( , ) n i i i d i V f 有 存在， 注1 这种和式的极限的应用极广；各个领域中的不少 问题通常都要化为这种和式的极限；我们常把这种和 式的极限称为二重积分
§9.1二重积分的概念 二重积分的概念 定义2设f(xy)是有界闭区域上的有界函数,将D任意 分割成n个小区域△G,△G……△G在各小区域△G内任 取一点(,m),作和式∑f(5,m)△,当各小区域中的 最大直径d=max{(4}→>O时,若极限 <n im∑f(5,n),△a 存在,且与区域的分割及点(ξ)取法无关,则称此 极限值为二元函数(xy)在区域D上的二重积分,记作
9 §9.1 二重积分的概念 定义2 设ƒ(x,y) 是有界闭区域上的有界函数，将D任意 1 2 , , , n i ( , ), i i 1 ( , ) , n i i i i f 当各小区域中的 0 1 lim ( , ) n i i i d i f 存在，且与区域的分割及点 ( , ) i i 极限值为二元函数ƒ(x,y)在区域D上的二重积分，记作 一. 二重积分的概念 取法无关，则称此 1 max 0 , i i n d d 时 若极限 作和式 分割成n个小区域 在各小区域 内任 取一点 最大直径
∫0(xy)do=im>/(,n)A 其中f(xy)为被积函数,D为积分区域,do为面积 元素,f(xy)d为被积表达式 注2若函数f(xy)在区域D上的二重积分存在,此时 又称f(xy)在区域D上可积 定理1若f(xy)在有界闭区域D上连续,则f(xy)在D 上一定可积 注3由定义2知:若f(xy)在D上可积,则其和式极限 的存在性与区域D的分法无关,即与小区域△a的形 状无关
10 其中ƒ(x,y)为被积函数, D为积分区域，dσ为面积 注2 若函数ƒ(x,y)在区域D上的二重积分存在，此时 定理1 若ƒ(x,y)在有界闭区域D上连续，则ƒ(x,y)在D 元素，ƒ(x,y)dσ为被积表达式. 又称ƒ(x,y)在区域D上可积. 上一定可积. 0 1 ( , ) lim ( , ) . n i i i d D i f x y d f 注3 由定义2知：若ƒ(x,y)在D上可积，则其和式极限 的存在性与区域D的分法无关，即与小区域 i 状无关. 的形