出版说明 吉米多维奇(B.I.八EMMII OBI)著《数学分析习题集》 一书的中译本，自50年代初在我国翻译出版以来，引起了全 国各大专院校广大师生的巨大反响。凡从事数学分析教学的 师生，常以试解该习题集中的习题，作为检验掌握数学分析基 本知识和基本技能的一项重要手段。二十多年来，对我国数学 分析的学工作是甚为有益的。 该书四千多道习题，数量多，内容丰富，由浅入深，部分题 目难度大。涉及的内容有函数与极限，单变量函数的微分学， 不定积分，定积分，级数，多变量函数的徽分学，带参变量积分 以及重积分与曲线积分、曲面积分等等，概括了数学分析的全 部主题。当前，我国广大读者，特别是肯于刻苦自学的广大数 学爱好者，在为四个现代化而勤奋学习的热潮中，迫切需要对 一些疑难习题有一个较明确的回答。有鉴于此，我们特约作 者，将全书4462题的所有解答汇辑成书，共分六册出版。本书 可以作为高等院校的教学参考用书，同时也可作为广大读者 在自学徽积分过程中的参考用书。 众所周知，原习题集，题多难度大，其中不少习题如果认 真习作的话，既可以深刻地巩固我们所学到的基本概念，又可 以有效地提高我们的运算能力，特别是有些难题还可以迫使 我们学会综合分析的思维方法。正由于这样，我们殷切期望初 学数学分析的青年读者，一定要刻苦钻研，千万不要轻易查抄 本书的解答，因为任何削弱独立思索的作法，都是违背我们出 一
版此扔的本意。何况所作解答并非一定标准,仅作参考而已 如有某些误解、差铺也在所难免,一经发觉,恳请指正,不胜感 谢 本书蒙潘承洞教投对部分难題进行了审校。特请郭大钧 教投、郾品琮教投对全书作了重要仔细的审校。其宁桕当数量 的难度大的题,都是郭大钧、鄧品腙亲自作的解答。 拿加本册审校工作的还有楼世拓、姚琦、陈兆宽周志。 参加蝙演工作的还有黄舂朝同志。 本书在蝸审过程中,还得到山东大学、山东工业大学、山 东师范大学和曲阜师范大学的领导和同志们的大力支持,特 在此一并致谢
目 录 第一章分析引论………………… 1 S1.实数………… 1 §2.叙列的理论…………………… 25 3.函数的概念……………………… 95 §4.函数的图形表示法…………………………… 128 §5.函数的极限………………… 226 一§6.函数无穷小和无穷大的阶………………357 7、函数的连续性……………… 375 §8.反函数.用参数表示的函数……………… 425 9.函数的一致连续性………………………………444 10.函数方程………………………463
第一章分析引论 §1.实数 1°数学归纳法为了证明某定理对任意的自然数n为真,只须证 明下面两点就够了:(1)这定理对n=1为真,〔2)设这定理对任何的 个自然数n为真,则它对其次的一自然数n+1也为真 2°分割假设分有理数为A和B两类,使其满足于下列条件:(1) 两类均非空集,(2)每一个有理数必属于…类,且仅属于一类,(3)属于 A类(下类)的任一数小于属于B类(上类)的任何数,这样的一个分类 法称为分割.(a)若或是下类A有最大的数,或是上类B有最小的数,则 分割A/B确定一个有理数.()若A类无最大数,而B类亦无最小数,则 分割A/B确定一个无理数,有理数和无理数统称为实数 3°绝对值假若x为实数则用下列条件所确定的非负数||称 为x的绝对值t x,若x≥0 若x<0 对于任何的实数x和y,有以下的不等式或立: x|-iy|≤|x+y≤|x|+(y 4°上确界和下确界设X={x}为实数的有界集合若: 以后若没有相反的附带说明数这个字我们将理解为实教
1)每一个x∈X·满足不等式 2)对子任何的e>0,存在有x′∈X,使 则数m=inf{x}称为集合X的下确界 同样,若: (1)每一个x∈X满足不等式 x≤M, (2)对于任何的e>0,存在有x"∈X,使 则数M=sup{x}称为集合x的上确界 若集合X下方无界,则通常说 inf{x}=-∞ 若集合X上方无界,则认为 p{x}=+ 5°绝对误差和相对误差设a(a≠0)是被测的量的准确数值,而 x是这个量的近似值,则 A=| 称为绝对误差,而 称为被测的量的相对误差 假若x的绝对误差不超过它的第n个有数数字的单位的一半,则说 有n位准确的数字 利用数学归纳法求证下列等式对任何自然数n皆成立: 1.1+2+… n(n+1) ·符号x∈X表示属于集合x
证当n=1时,等式成立 设对于n=k(自然数)时,等式成立,即 l+2+…+k k(k+1) 2 则对于n=k+1时,有 1+2+…十k十k+1)。k(k+1) 2 +k+1 +1)k+1)+1 2 即对于n=k+1时等式也成立 于是,由数学归纳法知,对于任何自然数n,有 1+2+…+n n(m+1) 2 2.12+2 (n+1)(2n+1) 6 证当n=1时,等式成立 设n=k时,等式成立,即 12+22+…+k k〔k+1)(2k+1) 6 则对于n=k+1时,有 12+22+…+k2+(k+1)2 是(+1)(2k+1) 6 干k+1)2 k(+1)[k(2+1)+6(+1) +1)(+1)+1)〔2k+1)+1) 6 即对于n=k+1,时等式也成立 于是,对于任何自然数n,有 n(n+1)(2n+1)
3.13+23+…+n3=(1+2+…+n) 证当n=1时,等式成立 设n=k时,等式成立,即 13+23+…+k3=(1+2 +k) 则对于n=k十1时,有 13+23+ k3十(更+1) (1+2-…+k)2+(k+1)3 k2(k+1) 十〔+1) (k+1)2(k+2)2 (k+1)〔(k+1)+1 (1+2+…+(k+1)〕2, 即对于n=k+1时,等式也成立 于是,对于任何自然数n,有 +23+… 4.1+2+22 证当n=1时,等式成立 设n=k时,等式成立,即 1+2+22+…+2* 则对于n=k+1时,有 1+2+22+…+2-1+2 (2*-1)+2=2 即对于n=k十1时,等式也成立 于是,对于任何自然数n,有 +2+2+…+2 2n-1
5.设 (a…h)…〔 1)h〕及 1,求证 (at b))=>Cmace-mib(m) 其中C是由n个元素中选取m个的组合数,由此推出牛 顿的二项式公式 证当n=1时,由于 La+b 十b 及 b 十b, 所以等式成立 设 时,等式成立,即 (a+b))=∑a (1) 则对于n=k+1时,有 十b (a+b) +b-k) (2) 将(1)式代入(2)式得 (a十b)1=(a+b-h)·∑Ca-"bm) a+b-kh)Cha bco,+ Cia 〔融1A01〕 …+Ca0b} kh)十b}Cab +{a-(-1)h)十(b-h)}Ca-1b0 …十{a+(-h)}Cab Ciat+ 16c0+Cha)+ Claab13 C-1b2)+…十Ca①b t Crab 〔k+1
Ci+a+1bc02+(Ce+C)acb(13 +(C4-1+Cab(1+(+a0)b+1 +a+1)b0+CQ+1a(4 )1 (Ci+)+Ci+laco)b b 故由(a+b)=∑ Cra -)bon可推得下式成立: )(+1=∑Cx+a+1-m)bm 即对于n=k+1时,等式也成立 于是,对于任何自然数n,有 +b) C pb 在式子 h)… (n-1)h 中,令h=0,即得 将(4)式代入(3)式,得牛顿二项式公式 (a+b)=>)Ca-"b 6.证明贝努里不等式 1+x1)(1+x2)…(1+xn)≥1+x1+x2+ 式中x1,x2,…,x是符号相同且大于-1的数 证当 时,此式取等号 设n=免时,不等式成立,即
(1+x1)(1+x2)…(1+xk)≥1+x1+x2+ 则对于n=k十1时,由于x(i=1,2,…,n)大于-1, 所以1+x>0.因而有 (1+x)(1+x2)…(1+xk)(1+x+1) (1+x1+x2+…+x)(1+x+1) (1+x1+x2+…+xk+xk+1) (x1xk+1·十x2x+1十…十xkxh+1) 由于xx≥0,所以 (1+x1)(1+x2)…(1+xx+3) 1十x1+x2+…十xk+1 即对于n=k+1时,不等式也成立, 于是,对于任何自然数n,有 (1+x1)(1+x2)…(1+xn) 1十x1+x2+“十 7.证明若x>-1,则不等式 (1+x)≥1十nx(m>1) 为真,且仅当x=0时,等号成立 证只要在6题的贝努里不等式中,设 x 1,2…, 即得证 (1+x)≥1+nx, 从6题的证明过程中看出,仅当x=0时,上式才取等 号 8.证明不等式